考研数学

请确保已经了解了 高中数学 相关知识

一元函数微分

一元函数极值点、拐点的判定

• 极值点：看 $x_0$ 左右两侧是否为局部最大（小）值；极值点是横坐标

• 拐点：看 $f''(x)$ 是否在 $x_0$ 左右两侧异号，该点本身可以不可导，且 $f''(x) > 0$ 时为凹函数，$f''(x) < 0$ 时为凸函数；拐点是点

极值点判别法则

对函数 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处若存在 $n \in \N^*$ 使得

• $f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n - 1)}(x_0) = 0$，$f^{(n)}(x_0) > 0$，则当 $n$ 为偶数时，$x_0$ 为极小值点

• $f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n - 1)}(x_0) = 0$，$f^{(n)}(x_0) < 0$，则当 $n$ 为偶数时，$x_0$ 为极大值点

当 $n$ 为奇数时 $x_0$ 既不是极大值点，也不是极小值点

一般取 $n = 2$，即一般来说

• $f'(x_0) = 0$，$f''(x_0) > 0$ 即有 $x_0$ 为极小值点

• $f'(x_0) = 0$，$f''(x_0) < 0$ 即有 $x_0$ 为极大值点

利用泰勒展开求极限

展开公式见 泰勒级数 一节，这里使用例略，因为太简单了

斯特林公式

$$n! = \sqrt{2 \pi n} (\dfrac{n}{e})^n, n \to +\infty$$

一元函数高阶求导

高阶求导转为等比数列求和

$f(x) = \dfrac{1}{x^2 - x +1}$，求 $f^{(2022)}(0)$

由立方和公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

得 $f(x) = \dfrac{1 + x}{1 + x^3} = \dfrac{1}{1 + x^3} + x\dfrac{1}{1 + x^3}$

而 $\dfrac{1}{1 + x^3} = \displaystyle\sum_{k = 0}^{\infty} (-x^3)^k, |x^3| < 1$

故 $f(x) = \displaystyle\sum_{k = 0}^{\infty} (-1)^k x^{3k} + \displaystyle\sum_{k = 0}^{\infty} (-1)^k x^{3k + 1}, |x^3| < 1$

故 $f^{(2022)}(0)$ 应该为 $x^{2022}$ 的系数乘以 $2022!$

可得系数为 $(-1)^{674} = 1$，故答案为 $2022!$

除利用立方和公式外，还可利用立方差公式等

高阶求导转为泰勒展开式

$f(x) = x^2\ln{(1 + x)}$，求 $f^{(n)}(0)$

因为 $\ln{(1 + x)} = \displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k + 1} x^k}{k}$

故 $f(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k + 1} x^{k + 2}}{k}$

故 $f^{(n)}(0)$ 应为 $x^{n}$ 的系数乘以 $n!$

可得系数为 $\dfrac{(-1)^{n - 1}}{n - 2}$，故答案为 $\dfrac{(-1)^{n - 1}}{n - 2} n!$

一元函数极限

求 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ 时，要考查 $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)$

若 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, \displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$，则 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (1 + f(x))^{g(x)} = \exp{\lim_{x \to +\infty} f(x)g(x)}$

当分子或分母为根式相加减时，可尝试分子或分母有理化

若有 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = a$，则可以转写为在 $x = x_0$ 的某个领域内 $f(x) = ag(x)$

对于 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f(\dfrac{1}{n})$，不可使用 $x = \dfrac{1}{n}$ 的代换，必须保留 $\dfrac{1}{n}$ 的形式

对于 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty, \displaystyle\lim_{n \to +\infty} y_n = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} z_n = a$，有 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_n [f(y_n) - f(z_n)] = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_n (y_n - z_n) f'(\xi)$，其中 $\xi$ 在 $y_n, z_n$ 之间

极限四则运算存在性

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = A$，$\displaystyle\lim_{x \to a} g(x)$ 不存在，则 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) + g(x)$ 不存在；当 $A \neq 0$ 时，又有 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)g(x)$ 不存在，$A = 0$ 时不确定

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x)$ 均不存在，则 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) + g(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)g(x)$ 均不确定

一元函数连续、可导、可微的判定和关系

一元函数连续的判定

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处连续

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处左连续，右连续略

一元函数可导的判定

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处可导

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处左可导，右可导略

一元函数可微的判定

• 若 $\Delta{y} = f(x_0 + \Delta{x}) - f(x_0) = A\Delta{x} + \omicron(\Delta{x})$，则称 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处可微，且微分 $\mathrm{d}y = A\Delta{x} = A\mathrm{d}x$

一元函数连续、可导、可微的关系

$$可微 \iff 可导\\ \searrow \swarrow\\ 连续$$

没标注的箭头表示无法推出

导数极限和导数的关系

$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x)$ 存在，无法判断 $f(x)$ 是否在 $x = x_0$ 处连续

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x) = A$，且 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处连续，则 $f'(x_0) = A$，否则不存在

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x) = \infty$，则 $f'(x_0)$ 不存在

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x)$ 不存在且不为 $\infty$，则需要利用 一元函数可导的判定 小节中的判断

间断点

第一类间断点

• 可去间断点：$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，但其于 $f(x_0)$ 不相等或 $f(x_0)$ 无定义

• 跳跃间断点：$\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 与 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 存在但不相等

第二类间断点

$\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 与 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 任一不存在

曲率和曲率半径

$$K = \dfrac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$$

$$R = \dfrac{1}{K}$$

曲率半径的推导

若 $x = x(t), y = y(t)$，令 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ 是其在点 $(x, y)$ 的曲率圆

对曲率圆求关于 $t$ 的偏导、二次偏导：

$$\left\{ \begin{align*} (x - a)x' + (y - b)y' &= 0\\ x'^2 + y'^2 + (x - a)x'' + (y - b)y'' &= 0\\ \end{align*} \right.$$

解得

$$\left\{ \begin{align*} x - a &= -\dfrac{x'^2 + y'^2}{x'y'' - x''y'} y'\\ y - b &= \dfrac{x'^2 + y'^2}{x'y'' - x''y'} x'\\ \end{align*} \right.$$

故 $R^2 = \dfrac{(x'^2 + y'^2)^3}{(x'y'' - x''y')^2}$

一般题目会让你求单点的曲率，可以直接代入解上面的方程组

渐近线

先看间断点：左右极限任一为无穷 $\implies$ 铅直渐近线

再看水平或斜渐近线 $y = ax + b$，同样要考查 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 两个方向

一元函数积分

不定积分

原函数存在定理

• 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则在 $[a, b]$ 上存在原函数

• 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有跳跃间断点，则在 $[a, b]$ 上一定不存在原函数

$f(x)$ 不连续时，原函数存在性与定积分存在性可以各不相干

由原函数定义，$F'(x) = f(x)$，故 $F(x)$ 连续

好用的式子

• $\displaystyle\int{ e^{ax} \cos{bx} \mathrm{d}x} = e^{ax} \dfrac{a \cos{bx} + b \sin{bx}}{a^2 + b^2} + C$

• $\displaystyle\int{ e^{ax} \sin{bx} \mathrm{d}x} = e^{ax} \dfrac{a \sin{bx} - b \cos{bx}}{a^2 + b^2} + C$

当 $P(x)$ 为多项式时以下三个式子非常好用

• $\displaystyle\int{ P(x)e^{ax} \mathrm{d}x} = e^{ax} (\dfrac{P}{a} - \dfrac{P'}{a^2} + \dfrac{P''}{a^3} - \cdots) + C$

• $\displaystyle\int{ P(x)\cos{ax} \mathrm{d}x} = \cos{ax} (\dfrac{P'}{a^2} - \dfrac{P'''}{a^4} + \cdots) + \sin{ax} (\dfrac{P}{a} - \dfrac{P''}{a^3} + \cdots) + C$

• $\displaystyle\int{ P(x)\sin{ax} \mathrm{d}x} = \sin{ax} (\dfrac{P'}{a^2} - \dfrac{P'''}{a^4} + \cdots) - \cos{ax} (\dfrac{P}{a} - \dfrac{P''}{a^3} + \cdots) + C$

如何快速拆开分式多项式

例：对 $f(x) = \dfrac{7x - 2}{(2x - 1)(x + 1)} = \dfrac{A}{2x - 1} + \dfrac{B}{x + 1}$

在式子两边同时乘以 $2x - 1$ 得 $\dfrac{7x - 2}{x + 1} = A + \dfrac{2x - 1}{x + 1}B$，令 $x = \dfrac{1}{2}$ 得 $A = 1$

在式子两边同时乘以 $x + 1$ 得 $\dfrac{7x - 2}{2x - 1} = \dfrac{x + 1}{2x - 1}A + B$，令 $x = -1$ 得 $B = 3$

欧拉公式在积分中的应用

令 $y = e^{\mathrm{i}x}$，则

• $2\mathrm{i} \sin{x} = y - \dfrac{1}{y}, 2 \cos{x} = y + \dfrac{1}{y}$

• $2\mathrm{i} \sin{kx} = y^k - \dfrac{1}{y^k}, 2 \cos{kx} = y^k + \dfrac{1}{y^k}, k \in \N$

使用例：

求 $I = \displaystyle\int{\cos^4{x}} \mathrm{d}x$

因为 $(2\cos{x})^4 = (y + \dfrac{1}{y})^4 = y^4 + \dfrac{1}{y^4} + 4(y^2 + \dfrac{1}{y^2}) + 6 = 2 \cos{4x} + 8 \cos{2x} + 6$

故 $\cos^4{x} = \dfrac{\cos{4x}}{8} + \dfrac{\cos{2x}}{2} + \dfrac{3}{8}$

故得 $I = \dfrac{\sin{4x}}{32} + \dfrac{\sin{2x}}{4} + \dfrac{3x}{8} + C$

对不出现奇数次幂的正弦函数的积分都好用，如果出现了，则一般按 $\sin{x} \mathrm{d}x = -\mathrm{d}\cos{x}$ 处理

费曼积分法

若 $f(x, t)$ 在 $R[x \in [a, A], t \in [b, B]]$ 内有定义且连续，且 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{t}}$ 在 $R$ 内连续，则有

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_{a}^{A} f(x, t) \mathrm{d}x = \int_{a}^{A} \dfrac{\partial{f}}{\partial{t}} \mathrm{d}x$$

更一般情况下，当下限为 $u(t)$ 上限为 $v(t)$ 且 $t \in (b, B)$ 时 $u(t) \in [a, A], v(t) \in [a, A]$，则有

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_{u(t)}^{v(t)} f(x, t) \mathrm{d}x = f(v(t), t) \cdot v'(t) - f(u(t), t) \cdot u'(t) + \int_{u(t)}^{v(t)} \dfrac{\partial{f}}{\partial{t}} \mathrm{d}x$$

例：求 $I = \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{(1 + x^2)^2}$

构造 $f(x, t) = \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{t^2 + x^2}$，则 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{t}} = \displaystyle\int\dfrac{-2t \mathrm{d}x}{(t^2 + x^2)^2}$

有 $[\dfrac{\partial{f}}{\partial{t}}]_{t \to 1} = -2I$

故

$$\begin{align*} I &= -\dfrac{1}{2} [\dfrac{\partial{f}}{\partial{t}}]_{t \to 1}\\ &= -\dfrac{1}{2} [\dfrac{\partial{\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{t^2 + x^2}}}{\partial{t}}]_{t \to 1}\\ &= -\dfrac{1}{2} [\dfrac{\partial{\dfrac{1}{t} \arctan{\dfrac{x}{t}}}}{\partial{t}}]_{t \to 1}\\ &= -\dfrac{1}{2} [-\dfrac{1}{t^2} \arctan{\dfrac{x}{t}} - \dfrac{x}{t^3} \dfrac{1}{1 + (\dfrac{x}{t})^2}]_{t \to 1}\\ &= \dfrac{\arctan{x} + \dfrac{x}{1 + x^2}}{2} + C \end{align*}$$

更多信息见 此链接

定积分

反常积分敛散性的判定

反常积分有以下两种可能：

• 无穷限的反常积分——积分上下限任一为无穷：$\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$、$\displaystyle\int_{-\infty}^{b} f(x) \mathrm{d}x$、$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$
• 无界函数的反常积分——积分区间内某点（瑕点）函数值为无穷：$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$ 且 $\exist{x_0} \in{[a, b]}$ 使 $f(x_0) = \infty$

当然这两种可能可以同时成立，接下来给出判定方法：

首先对无穷限判定，记 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} x^p f(x) \mathrm{d}x = A$

• 若存在 $p > 1$ 使 $A$ 存在则收敛
• 若存在 $p \leqslant 1$ 使 $A$ 为无穷或非零数则发散

不是说上面就完事了，还有其他地方需要判定

再判定瑕点，记 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} (x - x_0)^p f(x) = A$

• 若存在 $p < 1$ 使 $A$ 存在则收敛
• 若存在 $p \geqslant 1$ 使 $A$ 为无穷或非零数则发散

当然你还得判定 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} (x_0 - x)^p f(x) = A$

只有当各处均收敛时才能判定为收敛

奇偶函数反常积分的敛散性

• 若 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ 收敛，则

$$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \left\{ \begin{align*} &0 & f(x) 为奇函数\\ &2 \int_{0}^{+\infty} f(x) & f(x) 为偶函数\\ \end{align*} \right.$$

• 若 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ 即 $\displaystyle\lim_{A \to +\infty, B \to -\infty}\int_{B}^{A} f(x) \mathrm{d}x$ 存在，则 $\displaystyle\lim_{R \to +\infty} \int_{-R}^{R} f(x)$ 存在；后者无法推出前者

反常积分和的敛散性

$\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$	$\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d}x$	$\displaystyle\int_{a}^{+\infty} [f(x) \pm g(x)] \mathrm{d}x$
收敛	收敛	收敛
收敛	发散	发散
发散	发散	不确定

$\displaystyle\int_{-\infty}^{a} f(x) \mathrm{d}x$	$\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$	$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$
收敛	收敛	收敛
-	-	发散

三角函数的积分特性

以下性质均由区间重现推出

• $\displaystyle\int_{0}^{\pi} xf(\sin{x}) \mathrm{d}x = \dfrac{\pi}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi} f(\sin{x}) \mathrm{d}x$

• $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{x}) \mathrm{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos{x}) \mathrm{d}x$

Wallis 公式

$$\begin{align*} I &= \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^m{x} \cos^n{x} \mathrm{d}x\\ &= \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^m{x} \sin^n{x} \mathrm{d}x\\ &= \left\{ \begin{align*} &\dfrac{(m - 1)!!(n - 1)!!}{(m + n)!!} & m,n 不均为偶数\\ &\dfrac{(m - 1)!!(n - 1)!!}{(m + n)!!} \cdot \frac{\pi}{2} & m,n 均为偶数\\ \end{align*} \right. \end{align*}$$

周期函数的积分特性

• 若 $f(x)$ 为周期为 $T$ 的连续函数，则 $\displaystyle\int_{a}^{a + T} f(x) \mathrm{d}x = \displaystyle\int_{b}^{b + T} f(x) \mathrm{d}x$

一元函数积分转多元函数积分

• 对 $\rho = \rho(\theta)$ 有 $S = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2} \rho^2 \mathrm{d}\theta$，故求 $I = \displaystyle\int_{a}^{b} f^2(\sin{\theta}, \cos{\theta}) \mathrm{d}\theta$ 时，令 $\rho = f(\sin{\theta}, \cos{\theta}), x = \rho \cos{\theta}, y = \rho \sin{\theta}$，转化为二重积分且 $I = 2S$

• 对 $I = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{f(x)}{x} \mathrm{d}x$，令 $\dfrac{1}{x} = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-xy} \mathrm{d}y$，可得 $I = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \mathrm{d}y \cdot \displaystyle\int_{0}^{+\infty} f(x) e^{-xy} \mathrm{d}x$，这对于 $f(x) = e^{ax}$、$f(x) = a \sin{bx} + c \cos{dx}$ 都很好用

参见 此链接 与 此链接

傅汝兰尼积分

$f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续，$a, b > 0$，记 $I =\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{f(ax) - f(bx)}{x} \mathrm{d}x$

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$，则 $I = [f(0) - A] \ln{\dfrac{b}{a}}$

• 若 $\exist k > 0$ 使 $\displaystyle\int_{k}^{+\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ 收敛，则 $I = f(0) \ln{\dfrac{b}{a}}$

• 若 $\exist k > 0$ 使 $\displaystyle\int_{0}^{k} \dfrac{f(x)}{x}$ 收敛，则 $I = -f(+\infty) \ln{\dfrac{b}{a}}$

定积分的应用

平面图形面积

直角坐标 $y = f(x)$ 和 $x = \varphi(y)$ 易推导，极坐标 $S = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{a}^{b} \rho^2{(\theta)} \mathrm{d}\theta$ 也易推导，更多参看 雅可比矩阵

平面曲线弧长

参数方程易推导，直角坐标 $y = f(x)$ 套用参数方程，极坐标 $l = \displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{\rho^2(\theta) + \rho'^2(\theta)} \mathrm{d}\theta$，更多参看 曲线积分与曲面积分

旋转体体积

在此对易推导的情况不做讨论，我们着重介绍以极坐标形式给出时的求法，参见 此链接，更多参看 雅可比矩阵

极坐标下，绕极轴旋转的旋转体体积微元 $\mathrm{d}V = \dfrac{2\pi}{3} \rho^3 \sin{\theta} \mathrm{d}\theta$，推导如下：

考虑角度 $\theta$ 有极小变化 $\mathrm{d}\theta$，则其扫过的扇形所旋转得到的体积 $\mathrm{d}V$ 由其上与原点不同距离的最小面积微元 $\mathrm{d}S$ 旋转得到的最小体积微元 $\mathrm{d}v$ 求和而得

有 $\mathrm{d}S = \rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\rho$，这是一个小长方形

有 $\mathrm{d}v = \mathrm{d}S \cdot 2\pi\rho\sin{\theta}$，再将这个小长方形旋转

有 $\mathrm{d}V = \displaystyle\int_{0}^{\rho} \mathrm{d}v = \int_{0}^{\rho} 2\pi\rho^2\sin{\theta} \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\rho = 2\pi\sin{\theta} \dfrac{\rho^3}{3} \mathrm{d}\theta$，注意这里是对 $\rho$ 积分，将与原点不同距离的 $\mathrm{d}v$ 求和

旋转曲面面积

直角坐标易推导，参数方程套用参数方程，更多参看 曲线积分与曲面积分

向量与空间解析几何

直线方程的几何意义

一般式表示两平面的交线：

$$\left\{ \begin{align*} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\\ \end{align*} \right.$$

其方向向量与两个平面的法向向量垂直，故可令 $\vec{l} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$

对称式和参数式都很容易理解，略

点到平面距离公式的几何意义

$A = (x_0, y_0, z_0)$ 到 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的距离 $d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

取平面上一点 $B = (x_1, y_1, z_1)$ 故显然 $\overrightarrow{BA}$ 在法向量的投影即距离，故 $d = \dfrac{|(A, B, C)(x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0)|}{|(A, B, C)|}$，下略

点到直线距离公式的几何意义

$A = (x_0, y_0, z_0)$ 到通过 $B = (x_1, y_1, z_1)$ 方向向量为 $\vec{n}$ 的直线距离 $d = \dfrac{|\overrightarrow{BA} \times \vec{n}|}{|\vec{n}|}$

因为 $\overrightarrow{BA}$ 和 $\vec{n}$ 所夹平行四边形面积为 $|\overrightarrow{BA} \times \vec{n}|$，故除以底 $|\vec{n}|$ 得高 $d$

空间曲线的切线与法平面方程的几何意义

以参数方程给出时空间曲线的切线与法平面方程的几何意义

若曲线参数方程为：

$$\left\{ \begin{align*} x = x(t)\\ y = y(t)\\ z = z(t)\\ \end{align*} \right.$$

则其上一点的切向量 $\vec{l} = (x', y', z')$

结合物理意义来看，将 $t$ 视为时间，那么各个方向，如 $x$ 方向上位置关于时间的函数 $x(t)$ 的导数 $x'(t)$ 就是该方向上速度，有 $\vec{l_x} = (x', 0, 0)$，又因为速度是矢量，故叠加得到 $\vec{l}$

有了切向量，那么切线和法平面的方程的几何意义很明显了，略

以方程组给出时空间曲线的切线与法平面方程的几何意义

若曲线方程组为：

$$\left\{ \begin{align*} F(x, y, z) = 0\\ G(x, y, z) = 0\\ \end{align*} \right.$$

其表示两曲面的交线，我们考虑交线上一点 $(x_0, y_0, z_0)$，在 $F$ 上有法向量 $\vec{n_1}$，具体求法见 以隐函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义，在 $G$ 上有法向量 $\vec{n_2}$，显然交线上该点的方向向量 $\vec{l} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$

可以注意到 直线方程的几何意义 就是本节的一个特例

空间曲面的切平面与法线方程的几何意义

以隐函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义

若曲面方程为 $F(x, y, z) = 0$：

考虑曲面上原来一点 $(x_0, y_0, z_0)$ 经过微小变动到底曲面上另一点 $(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y, z_0 + \Delta z)$

故由全增量公式有 $F(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y, z_0 + \Delta z) = F(x_0, y_0, z_0) + \dfrac{\partial{F}}{\partial{x}} \Delta x + \dfrac{\partial{F}}{\partial{y}} \Delta y + \dfrac{\partial{F}}{\partial{z}} \Delta z = 0$

而 $F(x_0, y_0, z_0) = 0$，故 $\dfrac{\partial{F}}{\partial{x}} \Delta x + \dfrac{\partial{F}}{\partial{y}} \Delta y + \dfrac{\partial{F}}{\partial{z}} \Delta z = 0$

其可视作为两个向量 $\vec{n} = (\dfrac{\partial{F}}{\partial{x}}, \dfrac{\partial{F}}{\partial{y}}, \dfrac{\partial{F}}{\partial{z}})$、$\vec{l} = (\Delta{x} ,\Delta{y} ,\Delta{z})$ 的点积，这说明两向量垂直

又由于 $\vec{l}$ 是我们任意取的，而 $\vec{n}$ 对于所有的 $\vec{l}$ 都有垂直关系，因而 $\vec{n}$ 就是该点的法向量

此外其 $\vec{n}$ 也被称为梯度，利用 Nabla 算子、环量、旋度、格林公式与斯托克斯公式 一节中的知识，我们将其记作 $\vec{\nabla}F$，注意这里的 $F$ 与 $\vec{\nabla}$ 的运算与向量数乘类似，其结果是个向量

以显函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义

若曲面以 $z = f(x, y)$ 的形式给出：

利用 以隐函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义 的结论，取 $F(x, y, z) = f(x, y) - z = 0$ 即可

多元函数微分

多元函数求导

• 若 $z = z(x, y)$ 则

$$\mathrm{d}z = \dfrac{\partial{z}}{\partial{x}} \mathrm{d}x + \dfrac{\partial{z}}{\partial{y}} \mathrm{d}y$$

• 若 $z = z(u, v), u = u(x, y), v = v(x, y)$ 则

$$\dfrac{\partial{z}}{\partial{x}} = \dfrac{\partial{z}}{\partial{u}} \dfrac{\partial{u}}{\partial{x}} + \dfrac{\partial{u}}{\partial{v}} \dfrac{\partial{v}}{\partial{x}}$$

$$\dfrac{\partial{z}}{\partial{y}} = \dfrac{\partial{z}}{\partial{u}} \dfrac{\partial{u}}{\partial{y}} + \dfrac{\partial{u}}{\partial{v}} \dfrac{\partial{v}}{\partial{y}}$$

• 若 $I(x) = \displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \mathrm{d}t$，则 $\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = f(v) v' - f(u) u'$，当积分内不单为关于 $t$ 的函数时，需要代换变量，注意该式和 费曼积分法 中式子的不同

二元函数极限

若有 $\displaystyle\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} \dfrac{F(x, y)}{G(x, y)} = a$，则可以转写为在 $(x_0, y_0)$ 的某个领域内 $F(x, y) = aG(x, y)$

错误使用例：

设 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 的某去心领域内连续，且满足 $\displaystyle\lim_{x \to 0, y \to 0} \dfrac{f(x, y) - f(0, 0)}{x^2 + 1 - x\sin{y}} = -3$，则函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处 ____

这题若转写了，那么 $f(x, y) = -3(x^2 + 1 - x\sin{y}) + f(0, 0)$，以此推导会得出非极值点的结论，但我们假定的这个函数是有问题的，代入 $(0, 0)$ 会发现 $f(0, 0)$ 无解，即不存在那样的连续的、二阶可导的函数满足题意，实际上题目也提醒了去心，而我们这个心是有问题的，所以不能转写

这种题还是利用定义做好些

二元函数连续、偏导存在、偏导连续、可微的判定和关系

二元函数连续的判定

若 $\displaystyle\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$，则称 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处连续

可令 $x = \rho\cos{\theta}, y = \rho\sin{\theta}$ 进行代换，若极限结果与 $\theta$ 相关不等于 $f(x_0, y_0)$，则不连续

二元函数偏导存在的判定

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x, y_0) - f(x_0, y_0)}{x - x_0}$ 存在，则称 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 关于 $x$ 的偏导存在，记作 $f'_x(x_0, y_0)$

• 若 $\displaystyle\lim_{y \to y_0} \dfrac{f(x_0, y) - f(x_0, y_0)}{y - y_0}$ 存在，则称 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 关于 $y$ 的偏导存在，记作 $f'_y(x_0, y_0)$

二元函数偏导连续的判定

• 若 $\displaystyle\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} \dfrac{\partial{f(x, y)}}{\partial{x}} = f'_x(x_0, y_0)$，则称 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 关于 $x$ 的偏导连续

• 若 $\displaystyle\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} \dfrac{\partial{f(x, y)}}{\partial{y}} = f'_y(x_0, y_0)$，则称 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 关于 $y$ 的偏导连续

二元函数可微的判定

先判定 $f'_x(x_0, y_0)$ 和 $f'_y(x_0, y_0)$ 是否都存在，存在则进行下一步，否则不可微

考查极限

$$\lim_{(\Delta{x}, \Delta{y}) \to (0, 0)} \dfrac{f(x_0 + \Delta{x}, y_0 + \Delta{y}) - f(x_0, y_0) - f'_x(x_0, y_0) \Delta{x} - f'_y(x_0, y_0) \Delta{y}}{\sqrt{\Delta{x}^2 + \Delta{y}^2}}$$

是否为零，是则称 $f'(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 可微，否则不可微

二元函数连续、偏导存在、偏导连续、可微的关系

$$\begin{align*} 二元函数两个偏导都在 (x_0, y_0) 连续 \implies& f(x, y) 在 (x_0, y_0) 可微 \implies f(x, y) 在 (x_0, y_0) 连续\\ &\Downarrow\\ &二元函数两个偏导都存在 \end{align*}$$

没标注的箭头表示无法推出

多元函数极值点的判定

对 $z = F(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 有连续的二阶偏导数，且 $f'_x = 0, f'_y = 0$，记 $f''_{xx} = A, f''_{xy} = B, f''_{yy} = C$，则

• $AC - B^2 > 0$，且 $A > 0$ 时取极小值，$A < 0$ 时取极大值
• $AC - B^2 < 0$，不是极值点
• $AC - B^2 = 0$，不能确定，用定义讨论

多元函数积分

轮换对称性

若 $D \subset \R^2$ 且 $\forall{(x, y) \in D}$ 都有 $(y, x) \in D$，则 $D$ 具有轮换对称性

例：求 $I = \displaystyle\iint_{D} (\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，$D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leqslant R^2\}$

因为 $D$ 满足轮换对称性，故 $I = \displaystyle\iint_{D} (\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

故 $2I = (\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2}) \displaystyle\iint_{D} (x^2 + y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，下略

当然对于更高维也有相似结论，此处略

雅可比矩阵

在进行二元函数积分时我们想进行换元，但 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 该换成什么呢？

我们来探讨一下令 $x = x(u, v)$，$y = y(u, v)$ 到底是什么意思——是这样的一个函数 $F$ 作用于向 $\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}$ 后输出 $\begin{bmatrix}x(u, v)\\y(u, v)\end{bmatrix}$

我们考虑极小区域上输入的微小变动与输出的微小变动，其可视作线性变换，记 $J = \begin{bmatrix}k_1 & k_3 \\ k_2 & k_4\end{bmatrix}$，我们来推导该值

对于 $\begin{bmatrix}\mathrm{d}u \\ 0\end{bmatrix}$，有 $J \begin{bmatrix}\mathrm{d}u \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}k_1\mathrm{d}u \\ k_2\mathrm{d}u\end{bmatrix}$

而这又对应参数方程的极小方向向量，故

$k_1 \mathrm{d}u = \dfrac{\partial{x}}{\partial{u}} \cdot \mathrm{d}u \implies k_1 = \dfrac{\partial{x}}{\partial{u}}$

$k_2 \mathrm{d}u = \dfrac{\partial{y}}{\partial{u}} \cdot \mathrm{d}u \implies k_2 = \dfrac{\partial{y}}{\partial{u}}$

同理 $k_3 = \dfrac{\partial{x}}{\partial{v}}$，$k_4 = \dfrac{\partial{y}}{\partial{v}}$

故 $J = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial{x}}{\partial{u}} & \dfrac{\partial{x}}{\partial{v}} \\ \dfrac{\partial{y}}{\partial{u}} & \dfrac{\partial{y}}{\partial{v}}\end{bmatrix}$

又有面积微元比例 $\mathrm{abs}\det{J} \cdot \mathrm{d}u\mathrm{d}v = \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

详情可见 3Blue1Brown 《雅可比矩阵下：所谓的雅可比行列式》

且由此可见平面直角坐标转极坐标时 $\mathrm{abs} \det{J}$ 就等于 $\rho$

这对多元函数也是成立的，如三维直角坐标转极坐标时 $\mathrm{abs} \det{J} = \rho^2\sin{\varphi}$

曲线积分与曲面积分

该节内容不严谨，很多讨论都只限于二维、三维情况

部分参照 此链接

更多相关视频：

中英双语 可视化讲解格林定理

散度与旋度：麦克斯韦方程组、流体等所用到的语言

nabla 算子 与梯度、散度、旋度

第一类曲线积分

第一类曲线积分与积分方向无关，这适用于标量场

例线密度 $\rho(x, y)$，则线质量 $M = \displaystyle\int_{L} \rho(x, y) \mathrm{d}s$

而第一类曲线积分的解法也通常是找到这样一个变量 $t$，使得 $x = x(t), y = y(t)$ 且保向

从而 $\mathrm{d}x = x'(t) \mathrm{d}t, \mathrm{d}y = y'(t) \mathrm{d}t \implies \mathrm{d}s = \sqrt{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2} = \sqrt{x'^2 + y'^2} \mathrm{d}t$

对于更高维的可以类比推理

实际上，第一类曲线积分也可以换元，详见 此链接，但这疑似记不住故仅供了解，但极坐标代换还是要记的，曲线微元 $\mathrm{d}s = \sqrt{\rho^2 + \rho'^2} \mathrm{d}\theta$

第二类曲线积分

第二类曲线积分与积分方向有关，这适用于矢量场

例力场 $\vec{F}(x, y) = \begin{bmatrix}F_x(x, y) \\ F_y(x, y)\end{bmatrix}$，则做功

$$W_{\vec{L}} = \displaystyle\int_{\vec{L}} \vec{F}\mathrm{d}\vec{s} = \displaystyle\int_{\vec{L}} F_x\mathrm{d}x + F_y\mathrm{d}y$$

且显然有 $W_{\vec{L}} = -W_{-\vec{L}}$

类似于第一类曲线积分，可以使用参数方程求解

对于封闭曲线，见下小节；对于非封闭曲线，补全曲线为封闭曲线，并对补线使用参数方程法

Nabla 算子、环量、旋度、格林公式与斯托克斯公式

当 $L$ 为闭合曲线时，该曲线积分即 $\vec{F}$ 沿着曲线 $L$ 的环量

利用 $W_{\vec{L}} = -W_{-\vec{L}}$，我们可以将环所包面域分割为无穷多小面域 $\mathrm{d}\vec{S}$

$$\displaystyle\oint_{\partial{D}}\vec{F}\mathrm{d}\vec{s} = \displaystyle\iint_{D} \vec{\nabla} \times \vec{F} \mathrm{d}\vec{S}$$

这里 $D$ 与 $\partial{D}$ 的定义略，这里的 $\vec{\nabla}$ 称作 Nabla 算子，也称哈密顿算子

$$\vec{\nabla} = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial}{\partial{x_1}} \\ \vdots \\ \dfrac{\partial}{\partial{x_n}}\end{bmatrix}$$

要提醒的一点是 $\vec{\nabla} \times \vec{F}$ 不完全是叉乘，而是表示求旋度的意思，即 $\mathrm{rot} \vec{F}$，其反应了某点角动量的大小

不同于梯度和散度，旋度不能简单的推广到其他维度，但是只有在三维中其结果为向量

对于二元函数来说，该式子即格林公式

$$\displaystyle\oint_{\partial{D}}\vec{F}\mathrm{d}\vec{s} = \displaystyle\iint_{D} \vec{\nabla} \times \vec{F} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \displaystyle\iint_{D} \det{\begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial{x}} & \dfrac{\partial}{\partial{y}} \\ F_x & F_y \end{bmatrix}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

对于三元函数来说，该式子即斯托克斯公式

$$\displaystyle\oint_{\partial{D}}\vec{F}\mathrm{d}\vec{s} = \displaystyle\iint_{D} \vec{\nabla} \times \vec{F} \cdot \begin{bmatrix}\mathrm{d}y\mathrm{d}z \\ \mathrm{d}z\mathrm{d}x \\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{bmatrix}$$

线积分路径无关的判定

无旋场，即 $\mathrm{rot} \vec{F} \equiv \vec{0}$ 就有路径无关——因为角动量抵消，所以在线上的积分恒为 $0$

第一类曲面积分

第一类曲面积分与积分方向无关，这适用于标量场

例面密度 $\rho(x, y, z)$，则面质量 $M = \displaystyle\iint_{\varSigma} \rho(x, y, z) \mathrm{d}S$

一般来说，该面 $\varSigma$ 会以 $z = z(x, y)$ 的形式给出，从而有 $\mathrm{d}S = \sqrt{1 + (\dfrac{\partial{z}}{\partial{x}})^2 + (\dfrac{\partial{z}}{\partial{y}})^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

其推导如下：

在曲面 $z = z(x, y)$ 取点 $(x_0, y_0, z_0)$

其在 $x$ 方向上有极小变动 $\mathrm{d}x$，则变动向量 $\vec{v_1} = (1, 0, \dfrac{\partial{z}}{\partial{x}}) \mathrm{d}x$

同理 $y$ 方向有 $\vec{v_2} = (0, 1, \dfrac{\partial{z}}{\partial{y}}) \mathrm{d}y$

可得面积微元即两个向量的叉积的大小，即：

$\mathrm{d}S = |\vec{v_1} \times \vec{v_2}|$

对于其他情况也一样

这里再多提一个技巧，即若被积函数 $\rho(x, y, z) = F(x, y) \cdot z$ 而 $z\dfrac{\partial{z}}{\partial{x}}$、$z\dfrac{\partial{z}}{\partial{y}}$ 又好算的情况，则有

$$M = \iint_{\varSigma} F(x,y) z\mathrm{d}S = \iint_{D} F(x, y) \sqrt{z^2 + (z\dfrac{\partial{z}}{\partial{x}})^2 + (z\dfrac{\partial{z}}{\partial{y}})^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

这在球面、锥面上极其好用

第一类曲面积分的参数方程法

推导来自 此链接 和 此链接

被积曲面为 $F(x, y, z) = 0$，令 $x = x(u, v)$，$y = y(u, v)$，$z = z(u, v)$ 满足该式且 保定向——你可能会想这怎么可能，其实代换到生活中经纬度和地球上某点的映射就理解了

其在 $u$ 方向上有极小变动 $\mathrm{d}u$，则变动向量 $\vec{v_1} = (\dfrac{\partial{x}}{\partial{u}}, \dfrac{\partial{y}}{\partial{u}}, \dfrac{\partial{z}}{\partial{u}}) \mathrm{d}u$

同理 $v$ 方向有 $\vec{v_2} = (\dfrac{\partial{x}}{\partial{v}}, \dfrac{\partial{y}}{\partial{v}}, \dfrac{\partial{z}}{\partial{v}}) \mathrm{d}v$

可得面积微元即两个向量的叉积的大小，即：

$$\mathrm{d}S = |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = |(\dfrac{\partial{(y, z)}}{\partial{(u, v)}}, \dfrac{\partial{(z, x)}}{\partial{(u, v)}}, \dfrac{\partial{(x, y)}}{\partial{(u, v)}}) \mathrm{d}u\mathrm{d}v|$$

其中 $\dfrac{\partial{(y, z)}}{\partial{(u, v)}} = \begin{vmatrix}\dfrac{\partial{y}}{\partial{u}} & \dfrac{\partial{y}}{\partial{v}} \\ \dfrac{\partial{z}}{\partial{u}} & \dfrac{\partial{z}}{\partial{v}}\end{vmatrix}$

故也可注意到上节的代换其实就是本节的一个特例

使用例：

求 $I = \displaystyle\iint_{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1} \sqrt{\dfrac{x^2}{a^4} + \dfrac{y^2}{b^4} + \dfrac{z^2}{c^4}} \mathrm{d}S$

令 $x = a\sin{\varphi}\cos{\theta}, y = b\sin{\varphi}\sin{\theta}, z = c\cos{\varphi}$

有 $\mathrm{d}S = |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = abc \sin{\varphi} \sqrt{\dfrac{x^2}{a^4} + \dfrac{y^2}{b^4} + \dfrac{z^2}{c^4}} \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\theta$

即

$$\begin{align*} I &= \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\pi} abc (\dfrac{\sin^3{\varphi} \cos^2{\theta}}{a^2} + \dfrac{\sin^3{\varphi} \sin^2{\theta}}{b^2} + \dfrac{\sin{\varphi} \cos^2{\varphi}}{c^2}) \mathrm{d}\varphi \\ &= abc (\dfrac{2 \dfrac{2!!}{3!!} \cdot 4 \dfrac{1!!}{2!!} \dfrac{\pi}{2}}{a^2} + \dfrac{2 \dfrac{2!!}{3!!} \cdot 4 \dfrac{1!!}{2!!} \dfrac{\pi}{2}}{b^2} + \dfrac{ 2 \dfrac{0!!1!!}{3!!} \cdot 2\pi}{c^2}) \\ &= \dfrac{4\pi abc}{3} (\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2}) \end{align*}$$

第二类曲面积分

第二类曲面积分与积分方向有关，这适用于矢量场

例 磁场 $\vec{B}(x, y, z) = \begin{bmatrix}B_x(x, y, z) \\ B_y(x, y, z) \\ B_z(x, y, z)\end{bmatrix}$，则磁通量

$$\varPhi_{\vec{S}} = \displaystyle\iint_{\vec{S}} \vec{B}\mathrm{d}\vec{S} = \displaystyle\iint_{\vec{S}} B_x\mathrm{d}y\mathrm{d}z + B_y\mathrm{d}z\mathrm{d}x + B_z\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

且显然有 $\varPhi_{\vec{S}} = -\varPhi_{-\vec{S}}$

类似于第一类曲面积分，可以使用参数方程求解

第二类曲面积分的参数方程法

同理

$$\mathrm{d}\vec{S} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (\dfrac{\partial{(y, z)}}{\partial{(u, v)}}, \dfrac{\partial{(z, x)}}{\partial{(u, v)}}, \dfrac{\partial{(x, y)}}{\partial{(u, v)}}) \mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

故

$$\vec{B}\mathrm{d}\vec{S} = (B_x \dfrac{\partial{(y, z)}}{\partial{(u, v)}} + B_y \dfrac{\partial{(z, x)}}{\partial{(u, v)}} + B_z \dfrac{\partial{(x, y)}}{\partial{(u, v)}}) \mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

我们来看特例：

若有向曲面 $\vec{S}$ 以 $z = z(x, y)$ 的形式给出，其在 $xOy$ 面上的投影为 $D$，故

$$\vec{B}\mathrm{d}\vec{S} = ( -\dfrac{\partial{z}}{\partial{x}} B_x -\dfrac{\partial{z}}{\partial{y}} B_y + B_z) (\pm \mathrm{d}x\mathrm{d}y)$$

且当 $\vec{S}$ 与 $z$ 轴同向时取 $+$，反之取 $-$

通量、散度与高斯公式

不像环量有闭曲线的要求，第二类曲面积分即称为通量，我们研究闭曲面上的通量

散度表示为 $\vec{\nabla} \cdot \vec{F}$，这是完全的点乘操作，其结果是个数值，也记作 $\mathrm{div} \vec{F}$，其反应了某点流出物质与流入物质的多少

利用 $\varPhi_{\vec{S}} = -\varPhi_{-\vec{S}}$，我们可以将曲面所包体域分割为无穷多小体域 $\mathrm{d}V$

$$\begin{align*} I &= \oiint_{\partial{V}} \vec{F} \mathrm{d}\vec{S} \\ &= \iiint_{V} \vec{\nabla} \cdot \vec{F} \mathrm{d}V \\ &= \iiint_{V} (\dfrac{\partial{F_x}}{\partial{x}} + \dfrac{\partial{F_y}}{\partial{y}} + \dfrac{\partial{F_z}}{\partial{z}}) \mathrm{d}V \end{align*}$$

这就是高斯公式

面积分路径无关的判定

无散场（也称无源场），即 $\mathrm{div} \vec{F} \equiv 0$ 就有路径无关——因为流入和流出抵消，所以在面上的积分恒为 $0$

曲线积分与曲面积分中的奇点处理

/// TODO:

泊松曲面积分

$f(x)$ 在 $\R$ 上连续，则

$$\iint_{x^2 + y^2 + z^2 = 1} f(ax + by + cz) \mathrm{d}S = 2\pi \int_{-1}^{1} f(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} t) \mathrm{d}t$$

证明如下，推导参考自 此链接：

首先进行正交变换旋转坐标系为 $u-v-w$，考虑原坐标系过曲面上一点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的平面 $ax + by + cz = ax_0 + by_0 + cz_0$，并规定其法向量为 $(a, b, c)$，该旋转使 $w$ 轴与该法向量方向一致，可得在新坐标下左式等于

$$\iint_{u^2 + v^2 + w^2 = 1} f(F(u, v, w)) \mathrm{d}S'$$

这里的 $F(u, v, w)$ 还需要我们求出来

有新坐标系坐标 $(u_0, v_0, w_0)$ 中 $w_0$ 即原坐标系中点到面 $ax + by + cz = 0$ 的有正负的距离，可得 $w_0 = \dfrac{ax_0 + by_0 + cz_0}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

即进行了 $ax + by + cz = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} w$ 的代换，故我们想要的 $F(u, v, w) = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} w$

则令 $u = \sqrt{1 - t^2} \cos{\theta}, v = \sqrt{1 - t^2} \sin{\theta}, w = t$

由 第一类曲面积分的换元法 可得 $\mathrm{d}S' = \mathrm{d}t \mathrm{d}\theta$

这其实说明了圆柱面和对应的球面两者的面积元素大小一样，参见 【官方双语】为什么球的表面积是同样半径圆的面积的四倍？

故式子即

$$\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{-1}^{1} f(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}t) \mathrm{d}t = 2\pi \int_{-1}^{1} f(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} t) \mathrm{d}t$$

故得证

微分方程

可以分离变量的微分方程

若 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(x) g(y)$，则 $\dfrac{\mathrm{d}y}{g(y)} = f(x) \mathrm{d}x$，两边分别积分即可

齐次微分方程

若 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(\dfrac{y}{x})$，则令 $u = \dfrac{y}{x} \implies \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = xu' + u$ 代入化为 $\displaystyle\int{\dfrac{\mathrm{d}u}{f(u) - u}} = \ln{|x|} + C$，后略

当然若 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = f(\dfrac{x}{y})$，则换个视角看看即可

事实上这种方法不局限于 $\dfrac{y}{x}$，应当灵活使用代换

一阶线性微分方程

对 $y' + P(x)y = Q(x)$，有通解 $y = \dfrac{C + \displaystyle\int{Q(x)I(x) \mathrm{d}x}}{I(x)}$，其中 $I(x) = \exp{\displaystyle\int{P(x)} \mathrm{d}x}$

二阶常数零式

对 $y'' + py' + qy = 0$，注意特征方程 $r^2 + pr + q = 0$

• 两不等实根时，通解 $y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$
• 两相等实根时，通解 $y = e^{rx} (C_1 + C_2x)$
• 共轭根 $\alpha + \beta i$ 时，通解 $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos{\beta x} + C_2 \sin{\beta x})$

$n$ 阶常数零式

对 $y^{(n)} + p_1y^{(n - 1)} + \cdots + p_ny = 0$，注意特征方程 $r^n + p_1 r^{n - 1} + \cdots + p_n = 0$，由代数基本定理其有 $n$ 个根，其中

• 单根对应 $Ce^{rx}$
• $k$ 重实根对应 $e^{rx} \displaystyle{\sum_{i = 1}^{k} C_ix^{i - 1}}$
• 一对共轭根 $\alpha + \beta i$ 对应 $e^{\alpha x}(C_1 \cos{\beta x} + C_2 \sin{\beta x})$
• $k$ 对共轭根 $\alpha + \beta i$ 对应 $e^{rx} (\cos{\beta x} \displaystyle{\sum_{i = 1}^{k} A_ix^{i - 1}} + \sin{\beta x} \displaystyle{\sum_{i = 1}^{k} B_ix^{i - 1}})$

二阶常数非零式

对 $y'' + py' + qy = f(x)$，其通解为其对应的二阶常数零式的通解加上一个满足其的特解，接下来我们使用微分算子法来给出这样的特解

我们将 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 记为 $D$，称作微分算子，且有 $D^n = \dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}$

那么特解 $y^* = \dfrac{f(x)}{D^2 + pD + q}$

要注意的一点，上式不完全是等式，注意微分算子是一个作用，而不是单纯的“未知数”，而为什么我们能在下面的一些例子中把它当作未知数计算呢？这就牵扯到微分其实是线性的，在此不做展开

$f(x) = e^{kx}$ 时

见 $D$ 代入 $k$ 即可

若 $k^2 + pk + q = 0$，则 $y^* = x\dfrac{e^{kx}}{2D + p}$；若 $2k + p = 0$，则 $y^* = x^2\dfrac{e^{kx}}{2}$

$f(x) = \sin{ax}$ 或 $f(x) = \cos{ax}$ 时

见 $D^2$ 代入 $-a^2$ 即可

$y^* = \dfrac{f(x)}{q - a^2 + pD} = \dfrac{(q - a^2) - pD}{(q - a^2)^2 - p^2D^2} f(x) = \dfrac{(q - a^2)f(x) - pf'(x)}{(q - a^2)^2 + p^2a^2}$，当 $p = 0$ 时极方便

当分母为 0 时同 $f(x) = e^{kx}$ 一样分子乘 $x$，分母求导

$f(x)$ 为多项式时

设 $y^*$ 为高一次的多项式代入求解（这里使用微分算子疑似有点恶心）

$f(x) = e^{kx} \cdot g(x)$ 时

先把 $e^{kx}$ 移到式子前，再按前面的方法处理即可

$y^* = \dfrac{e^{kx} \cdot g(x)}{D^2 + pD + q} = e^{kx} \dfrac{g(x)}{(D + k)^2 + p(D + k) + q}$

无穷级数

数列极限

/// TODO:

Stolz 定理

对于以下两种情况

• 对实数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ 且 $\{b_n\}$ 严格单调递增，并有 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} b_n = +\infty$

• 对实数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ 且 $\{b_n\}$ 严格单调递减，并有 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a_n = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} b_n = 0$

有若 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{a_{n + 1} - a_n}{b_{n + 1} - b_n} = A$，则 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{a_n}{b_n} = A$ 成立

常数项级数

设有数列 $\{u_n\}$，则称 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} u_k$ 为无穷级数

$S_n = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} u_k$，则称 $\{S_n\}$ 为 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} u_k$ 的部分和数列

若 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = S$，则称 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} u_k$ 收敛到 $S$，$r_n = S - S_n$ 为级数 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} u_k$ 的余部

级数的性质

• $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} u_k$ 收敛 $\implies \displaystyle\lim_{k \to \infty} u_k = 0$
• 级数去掉有限项不影响级数敛散性
• 级数加括号后收敛，原级数不一定收敛；级数加括号后发散，原级数一定发散

级数和的敛散性

类似 反常积分和的敛散性 有：

$\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} u_k$	$\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} v_k$	$\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} (u_k \pm v_k)$
绝对收敛	绝对收敛	绝对收敛
绝对收敛	条件收敛	条件收敛
条件收敛	条件收敛	收敛
收敛	发散	发散
发散	发散	不确定

级数的敛散性判别法

比较判别法

对 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} u_k$ 和 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} v_k$ 有

1. $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} v_k$ 绝对收敛且对所有足够大的 $k$ 有 $|u_k| \leqslant |v_k|$，则 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} u_k$ 也绝对收敛
2. $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} v_k$ 不绝对收敛且对所有足够大的 $k$ 有 $|u_k| \geqslant |v_k|$，则 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} u_k$ 也不绝对收敛

注意：第二种情况 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} u_k$ 可能条件收敛

极限比较判别法

对 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} u_k$ 和 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} v_k$ 且对 $\forall{k \in \N^*}$ 有 $u_k, v_k \geqslant 0$，记 $I = \displaystyle\lim_{k \to \infty} \dfrac{u_n}{v_n}$

• $I$ 不存在时 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} v_k$ 发散则 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} u_k$ 发散
• $I = 0$ 时 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} v_k$ 收敛则 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} u_k$ 收敛
• $I > 0$ 时两者同敛散

比值判别法

对 $\displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} u_k$，若 $\displaystyle\lim_{k \to \infty} |\dfrac{u_{k + 1}}{u_k}| = \rho$，则

• $\rho < 1$ 时绝对收敛
• $\rho > 1$ 时发散
• $\rho = 1$ 时不确定

证明如下：

$\rho < 1$ 时，存在 $r \in (\rho, 1)$ 和 $N \in \N^*$ 使 $k > N$ 时有 $|u_{k + 1}| < r|u_k|$，故可得对 $i \in \N^*$ 有 $|u_{k + i}| < r^i |u_k|$

而 $\displaystyle\sum_{i = 1}^{\infty} |u_{k + i}| < |u_k| \displaystyle\sum_{i = 1}^{\infty} r^i$

且右式收敛，得左式收敛，而左式由原级数去掉有限项得到，故原级数收敛

$\rho > 1$ 时同理可得发散，$\rho = 1$ 时举例即可

积分判别法

/// TODO:

泰勒级数

$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + \omicron(x^n)$

$a^x = 1 + x \ln{a} + \dfrac{x^2}{2!} \ln^2{a} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} \ln^n{a} + \omicron(x^n)$

$\sin{x} = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \dfrac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!} + \omicron(x^{2n + 1})$

$\cos{x} = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} + \omicron(x^{2n})$

$\tan{x} = x + \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2x^5}{15} + \omicron(x^5)$

$\ln{(1 + x)} = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n - 1} \dfrac{x^n}{n} + \omicron(x^n)$

$\arcsin{x} = x + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{3x^5}{40} + \cdots$

$\arctan{x} = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^{n - 1} \dfrac{x^{2n - 1}}{2n - 1} + \omicron(x^{2n - 1})$

$(1 + x)^{1 / x} = e - \dfrac{ex}{2} + \dfrac{11ex^2}{24} - \dfrac{7ex^3}{16} + \dfrac{2447ex^4}{5760} + \omicron(x^4)$

$(1 + x)^n = 1 + \dfrac{n}{1!} x + \dfrac{n (n - 1)}{2!} x^2 + \dfrac{n (n - 1) (n - 2)}{3!} x^3 + \cdots$

$(1 + x)^{1 / n} = 1 + \dfrac{x}{n} - \dfrac{n - 1}{2!} \dfrac{x^2}{n^2} + \dfrac{(n - 1) (2n - 1)}{3!} \dfrac{x^3}{n^3} - \dfrac{(n - 1) (2n - 1) (3n - 1)}{4!} \dfrac{x^4}{n^4} + \cdots$

傅里叶级数

非考研重点，参看 23 年考了！24 年也考了！今年再考一次？傅里叶级数的所有考法及原理 30 分钟搞定 即可

向量空间与线性变换

我们正式进入线性代数这一单元，在此之前请观看：

线性代数的本质

无痛线代

二次型究竟是个啥？二次型的几何意义

我们说一个矩阵 $A$ 对应一个线性变换，$A\vec{x} = \vec{y}$ 即 $\vec{x}$ 经 $A$ 的线性变换得到 $\vec{y}$，而 $AB = C$ 即将 $B$ 的每一个列向量经 $A$ 的线性变换得到 $C$

显然对 $A$ 所有可能的输出向量 $\vec{y}$ 构成了一个集合，我们在此简单的将这个集合称为 $A$ 的 向量空间，把所有可能的输入向量的集合称为原向量空间

秩

其几何含义详见 线性代数的本质，我们在此基础上解释一些常用结论

• $A$ 的秩 $= A$ 的行秩 $= A$ 的列秩

取矩阵 $A_{m \times n}$，记 $A$ 列秩为 $r$，故 $A$ 的列空间的维度是 $r$

令 $\vec{c_1}, \cdots, \vec{c_r}$ 是 $A$ 的列空间的一组基构成矩阵 $C_{m \times r}$

使得 $A$ 的每个列向量是 $C$ 的 $r$ 个列向量的线性组合，即存在矩阵 $P$ 使得 $A = CP$

那么有 $A$ 的每个行向量都是 $P$ 的行向量的线性组合，故 $A$ 行向量组的向量空间在 $P$ 的行向量组的向量空间内

故 $A$ 的行秩 $\leqslant P$ 的行秩 $\leqslant r = A$ 的列秩

再考虑 $A^T$，则有 $A$ 的列秩 $= A^T$ 的行秩 $\leqslant A^T$ 的列秩 $= A$ 的行秩

综上故两者相等

• 矩阵 $A$ 与 $B$ 等价 $\iff$ 矩阵 $A$ 与 $B$ 同型且 $r(A) = r(B)$

原本的定义 $B_{m \times n} = Q_{m \times m}A_{m \times n}P_{n \times n}$ 且 $P, Q$ 均可逆其实就暗含了这点

两者对应了同一向量空间

• $0 \leqslant r(A_{m \times n}) \leqslant \min{\{m, n\}}$

极其显然，秩同时被向量所在的维度和向量的个数限制

• $r(A) = r(A^T) = r(AA^T) = r(A^TA)$

第一个等号显然，证明 $A\vec{x} = \vec{0}$、$A^TA\vec{x} = \vec{0}$ 同解即证明第二个等式，同理证明第三个

基础解系

我们说 $A \vec{x} = \vec{0}$ 实际上就是一个 $\vec{x}$ 向量经过矩阵 $A$ 的变换变成了一个零向量

我们求解的过程正是求怎样的 $\vec{x}$ 会经变换变成零向量

如果 $A$ 是满秩的，说明 $A$ 的变换没有出现降维，这说明所有原非零向量变换后都是非零向量，那么我们的解只有零解（不是零个解）

反之一定存在一个空间里的所有向量都变成了零向量（我们求基础解系就是在求这个空间的基底）

这里我们以三维空间为例

$$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 6 & 9\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}\\$$

这里你可以写出对应的方程组

因为 $\det{A} = 0$，故 $A$ 不满秩，也就是 $A$ 实际上是个三维空间里的一部分

实际上，由于

$$A \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} , r(A) = 2 < 3$$

故以 $A$ 为基的空间（实际上基底要求线性无关，这里更加标准的说法是“以 $A$ 的列向量张成的空间”）是个三维空间里的二维平面，这时存在非零解

那么

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$$

也就是

$$\left\{ \begin{align*} x_1 & = x_3\\ x_2 & = -2x_3 \end{align*} \right.\\$$

这里自由的是 $x_3$，说明 $\vec{x}$ 有一个自由度，也就是 $\vec{x}$ 在一条直线（一维空间）上

实际上，解系的维度就是原向量空间的维度减去矩阵的秩，即 $n - r(A)$

而我们所谓基础解系就是只要找这个空间的基底即可，因为这里是一维，仍取非零 $x_3$ 都可以得到基底

这里取 $x_3 = 1$，故基础解系为

$$\vec{\xi_1} = \begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 1\\ \end{bmatrix}$$

再例

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 5 & 6 & 7 & 8\\ 9 & 10 & 11 & 12\\ 13 & 14 & 15 & 16\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}\\$$

因为

$$A \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} , r(A) = 2$$

从四维压至二维，存在非零解，也就是

$$\left\{ \begin{align*} x_1 & = x_3 + 2x_4\\ x_2 & = -2x_3 - 3x_4 \end{align*} \right.\\$$

这里自由的是 $x_3$ 和 $x_4$，说明 $\vec{x}$ 有两个自由度，也就是 $\vec{x}$ 在一个平面（二维空间）上

为了求这个空间的基底，我们要保证线性无关，那么最方便的就是令 $x_3 = 1, x_4 = 0$，再令 $x_3 = 0, x_4 = 1$

那么

$$\vec{\xi_1} = \begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix} , \vec{\xi_2} = \begin{bmatrix} 2\\ -3\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix}$$

特征向量

行列式

行列式的几何意义

代数意义真的很没意思，什么狗屎逆序数滚远点

有关几何意义参见 线性代数的本质，我们以此说明部分式子

• $\det{AB} = \det{A} \cdot \det{B}$

矩阵 $AB = ABE$，即把矩阵 $E$ 进行两次线性变换，经过两次分别的线性变换 $B$、$A$ 后的空间和一次整体的线性变换 $AB$ 后的空间的缩放比例自然相等，且数值上相乘

抽象行列式

以下证明部分来自 此链接

分块矩阵的行列式

分块矩阵的行列式以下式为起点：

$$\det{ \begin{bmatrix} A & O\\ C & D\\ \end{bmatrix} } = \det{A} \cdot \det{D}$$

证明如下：

根据广义初等变换相关知识，原分块矩阵即

$$\begin{bmatrix} A & O\\ O & E\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & O\\ C & E\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & O\\ O & D\\ \end{bmatrix}$$

证明下略

实际上广义初等变换矩阵要求矩阵可逆，但这里式子是成立的，我感觉直接称为变换矩阵就行了，以后不再特殊说明

接下来说明以下式子：

$$\det{ \begin{bmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{bmatrix} } = |A| \cdot |D - CA^{-1}B| = |D| \cdot |A - BD^{-1}C|$$

根据广义初等变换相关知识，原分块矩阵即

$$\begin{bmatrix} E & O\\ CA^{-1} & E\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B\\ O & D - CA^{-1}B\\ \end{bmatrix}$$

第一个等号成立

同理还可以表示为

$$\begin{bmatrix} E & BD^{-1}\\ O & E\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A - BD^{-1}C & O\\ C & D\\ \end{bmatrix}$$

第二个等号成立

除此之外还有如下表示方法

$$\begin{bmatrix} A & B - AC^{-1}D\\ C & O\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & C^{-1}D\\ O & E\\ \end{bmatrix}$$

以及

$$\begin{bmatrix} O & B\\ C - DB^{-1}A & D\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & O\\ B^{-1}A & E\\ \end{bmatrix}$$

要注意的是这里有

$$\det{ \begin{bmatrix} M & N_{u \times u}\\ R_{v \times v} & O\\ \end{bmatrix} } = (-1)^{uv} \det{N} \cdot \det{R}$$

关于记忆方法，注意到前两个式子矩阵出现顺序为“选定、对角、顺时针、中间一开始的逆”

后两个式子为“$-1$ 的某次方、选定、对角、逆时针、中间一开始的逆”即可

矩阵运算的行列式

$$|X_{m \times m} + A_{m \times n} B_{n \times m}| = |X_{m \times m}| |E_{n \times n} + B_{n \times m} X_{m \times m}^{-1} A_{m \times n}|$$

证明如下：

由 分块矩阵的行列式 得

$$右式 = \det{ \begin{bmatrix} X_{m \times m} & A_{m \times n}\\ -B_{n \times m} & E_{n \times n}\\ \end{bmatrix} } = 左式$$

由此，若

$$M_{m \times m} = N_{m \times m} + k \begin{bmatrix} 1\\ \vdots\\ 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$$

则

$$\det{M} = \det{N} + k \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{m} N_{ij}$$

其中 $N_{ij}$ 表示 $N$ 在 $i$ 行 $j$ 列的代数余子式

相似对角化

为什么有 $n$ 个线性无关特征向量一定能相似对角化？

记 $\vec{\xi_1}, \cdots, \vec{\xi_n}$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $n$ 个无关特征向量，各自对应特征值 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$

则有 $A\vec{\xi_1} = \lambda_1 \vec{\xi_1}, \cdots, A\vec{\xi_n} = \lambda_n \vec{\xi_n}$，记

$$P = \begin{bmatrix} \vec{\xi_1} & \cdots & \vec{\xi_n} \end{bmatrix}$$

故得 $AP = P\varLambda$，其中 $\varLambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \cdots, \lambda_n)$

又因为 $P$ 由 $n$ 个线性无关的向量组成，故 $P$ 满秩可逆，故 $P^{-1}AP = \varLambda$，得证

为什么实对称矩阵一定能相似对角化？

没有这么复杂，对角化无非就是配成平方，所以问题就是：实二次型一定能配成完全平方。

高中生都知道怎么做，最简单的就是用贪心法一个个配就是。

参见 此链接 和 此链接

为什么是正交变换？

任意 $n$ 元实二次型 $f(\vec{x}) = \vec{x}^T A \vec{x}$，其中 $A$ 为实对称矩阵，都存在正交变换 $\vec{x} = Q\vec{y}$ 将其化为标准型：

$$f(\vec{x}) = \vec{x}^T A \vec{x} = (Q\vec{y})^T A Q\vec{y} = \vec{y}^T Q^T A Q\vec{y} = \vec{y}^T \varLambda \vec{y} = \sum_{k = 1}^{n} \lambda_{k} y_k^2$$

其中 $\varLambda = Q^T A Q = \mathrm{diag}(\lambda_1, \cdots, \lambda_n)$

其解法通常是这样的：

1. 求出 $n$ 个特征值 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$
2. 求出 $n$ 个线性无关的特征向量 $\vec{\xi_1}, \cdots, \vec{\xi_n}$
3. 将 $n$ 个特征向量正交化、单位化为 $\vec{e_1}, \cdots, \vec{e_n}$
4. 将 $\vec{e_1}, \cdots, \vec{e_n}$ 按列排序构成矩阵 $Q$
5. 写出经过正交变换后的标准型或对应的对角矩阵 $\varLambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \cdots, \lambda_n)$

其实最重要的一点就是，找到某种矩阵 $Q$ 使其满足 $Q^T A Q = \varLambda$

观察这个式子，我们会发现这和矩阵相似是很类似的

实际上对于实对称矩阵，必然存在可逆矩阵 $P$ 有 $P^{-1} A P = \varLambda$——有的题会要求求出通解，即所有可能的 $P$

若这样的矩阵 $P$ 同时也满足 $P^{-1} = P^{T}$，那么这样的 $P$ 实际上就是我们想找的矩阵 $Q$——只要令通解满足这样的性质也就是我们想要的 $Q$ 了，但这种做法过于繁琐

具有这样性质的矩阵也被称为正交矩阵，有关正交矩阵的性质在此不再赘述

这下我们回来看上面的步骤，前两步很好理解，用正交变换法将二次型化为标准型就是实对称矩阵的相似对角化的应用之一

第三步正交化、单位化是实际上是正交矩阵的性质要求的——正交矩阵的所有列（行）向量之间相互正交且为单位向量

有关“为什么将正交化、单位化后的特征向量按列排序构成的矩阵 $Q$ 仍然能保证有 $Q^{-1} A Q = \varLambda$”在此不做深入讨论

第四步和第五步就是纯粹的解题步骤了

正定矩阵、半正定矩阵、负定矩阵、半负定矩阵、不定矩阵

有关二次型的几何意义参见 二次型究竟是个啥？二次型的几何意义

二次型 $\vec{x}^T A \vec{x}$ 实际上就是将向量 $\vec{x}$ 经过 $A$ 的线性变换后再与自己点乘的结果，而向量点乘的结果的正负标示着两向量的夹角情况

具体来说，为正夹角小于 $\dfrac{\pi}{2}$，为 $0$ 两者垂直，为负夹角大于 $\dfrac{\pi}{2}$，在此我们简单分别称三种情况为同向、垂直、反向

若这样的矩阵 $A$ 能使得原向量空间的所有非零向量经过线性变换后保持同向，则称 $A$ 为正定矩阵，若保持不反向则为半正定矩阵，对于其他的正定情况也可类比定义

对了，这种情况是广义的正定矩阵，考研考查狭义的正定矩阵，即对 $A$ 再加上了实对称的限制

我们在此基础上来看看一些正定矩阵的相关结论

• $A$ 的特征值均为正

个人觉得这是最能体现同向这一概念的结论，假定 $A$ 的有特征值为 $0$，那么其对应的特征向量在变换之后就和自己垂直；假定有特征值为负，那么变换之后和自己反向

通过这个结论能推导的等价命题有：

1. $A_{n \times n}$ 的正惯性指数为 $n$
2. $A$ 与 $E$ 合同，因为 $A$ 可以用谱分解定理分解，然后把特征值开根号塞进单位向量即可，或者说 $A$ 是正定矩阵就意味它能化成系数全为 $1$ 的规范型，而这个化法肯定对应一个线性变换
3. 各阶顺序主子式为正

我们再来看看半正定二次型：$f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + x_2)^2 + (x_2 + x_3)^2 + (x_3 - x_1)^2$

它显然不能为负，且存在 $x_1 = x_3 = -x_2 \neq 0$ 使 $f = 0$，那么显然这是个半正定矩阵

同样的，半正定矩阵的特征值均非负，在加上之前正定矩阵特征值均为正的结论，则半正定矩阵必有特征向量为 $0$

根据上述结论和对角化不改变矩阵秩的性质，我们能很快写出该二次型对应的规范型为 $y_1^2 + y_2^2$

对于负定矩阵、半负定矩阵、不定矩阵的性质不再赘述，这里点出一点负定矩阵的判定方法：

奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正

常见概率分布、期望与方差

常见离散型随机变量的概率分布、期望与方差

名称	记法	意义	分布 $P(X = k)$	期望	方差
二项分布	$B(n, p)$	记 $X$ 为 $n$ 次实验中出现次数	$C_n^k p^k (1-p)^k$	$np$	$np(1 - p)$
0-1 分布	$B(1, p)$	略	略	略	略
超几何分布	$H(n, M, N)$	记 $X$ 为含 $M$ 特殊的总体 $N$ 中取 $n$ 次所取特殊体数	$\dfrac{C_M^k C_{N - M}^{n - k}}{C_N^n}$	$\dfrac{nM}{N}$	$\dfrac{nM}{N} (1 - \dfrac{M}{N}) \dfrac{N - n}{N - 1}$
负二项分布	$Nb(r, p)$	记 $X$ 为事件第 $r$ 次出现时的实验次数	$C_{k - 1}^{r - 1} p^r (1-p)^{k - r}$	$\dfrac{r}{p}$	$\dfrac{r(1 - p)}{p^2}$
几何分布	$Nb(1, p)$ 或 $Ge(p)$	略	略	略	略
泊松分布	$P(\lambda)$	略	$\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$	$\lambda$	$\lambda$

常见连续型随机变量的概率分布、期望与方差

名称	记法	意义	概率密度 $f_X(x)$	期望	方差
均匀分布	$U[a, b]$	略	$\dfrac{1}{b - a}, x \in [b, a]$	$\dfrac{a + b}{2}$	$\dfrac{(b - a)^2}{12}$
正态分布	$N(\mu, \sigma^2)$	略	$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp{-\dfrac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$	$\mu$	$\sigma^2$
指数分布	$Exp(\lambda)$	略	$\lambda e^{-\lambda x}, x \geqslant 0$	$\dfrac{1}{\lambda}$	$\dfrac{1}{\lambda^2}$

二维随机变量

切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理

有关大数定律、中心极限定理，参看

一个视频教你快速区分和记住大数定律以及中心极限定理

【官方双语】但是什么是中心极限定理？

切比雪夫不等式

/// TODO:

辛钦大数定律与伯努利大数定律

辛钦大数定律

若随机变量 $X_1, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布，也记作 $\mathrm{i.i.d}$，且它们所遵循的分布的期望为 $\mu$，则有

$$\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{i = 1}^n X_i \overset{P}{\longrightarrow} \mu$$

我们举个生活中的例子来解释这个式子所表达的意思：

现在有道数学题让你求某个随机变量的期望，你发现这道题好像有问题，想看看答案给出的期望是不是正确的，你正好会使用 Python 进行 $n$ 次模拟实验，那么你自然会将 $n$ 次模拟出来的结果加起来除以 $n$，用算出的频率当作期望

而辛钦大数定律就是这样做的正确性的根据

证明如下：

我们将讨论随机变量所遵循的分布的方差 $\sigma^2$ 存在时的特例，因为 辛钦大数定律本身不要求此方差存在

将 $\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{i = 1}^n X_i$ 记作随机变量 $Y_n$，易得 $E(Y_n) = \mu$ 且 $D(Y_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$

由切比雪夫不等式，有 $P(|Y_n - \mu| < \varepsilon) \geqslant 1 - \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$

取极限有 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P(|Y_n - \mu| < \varepsilon) = 1$，故得证

伯努利大数定律

若随机变量 $X_n \sim B(n, p), n \in \N^*$，则有

$$\dfrac{X_n}{n} \overset{P}{\longrightarrow} p$$

据说伯努利大数定律就是辛钦大数定律的一个特例，但很多书都没有具体的推导过程

这里参考 【概率论】大数定律与中心极限定理（2）从辛钦大数定律到伯努利大数定律 给出证明

假定随机变量 $x_1, \cdots, x_n, \cdots$ 独立同分布，遵循两点分布 $B(1, p)$，这也被称为伯努利试验，其期望为 $p$

那么随机变量 $X_n \sim B(n, p)$ 实际上就是在考查这 $n$ 次实验中成功的次数，显然有 $X_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} x_i$

可以注意到本节中的 $X_n$ 对应 辛钦大数定律 一节中的 $Y_n$，$x_i$ 对应 $X_i$，故

$$\dfrac{X_n}{n} = \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{i = 1}^n x_i \overset{P}{\longrightarrow} p$$

中心极限定理

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1