考研数学

请确保已经了解了 高中数学 相关知识

一元函数微分

一元函数极值点、拐点的判定

• 极值点：看 $x_0$ 左右两侧是否为局部最大（小）值；极值点是横坐标

• 拐点：看 $f''(x)$ 是否在 $x_0$ 左右两侧异号，该点本身可以不可导，且 $f''(x) > 0$ 时为凹函数，$f''(x) < 0$ 时为凸函数；拐点是点

极值点判别法则

对函数 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处若存在 $n \in \N^*$ 使得

• $f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n - 1)}(x_0) = 0$，$f^{(n)}(x_0) > 0$，则当 $n$ 为偶数时，$x_0$ 为极小值点

• $f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n - 1)}(x_0) = 0$，$f^{(n)}(x_0) < 0$，则当 $n$ 为偶数时，$x_0$ 为极大值点

当 $n$ 为奇数时 $x_0$ 既不是极大值点，也不是极小值点

一般取 $n = 2$，即一般来说

• $f'(x_0) = 0$，$f''(x_0) > 0$ 即有 $x_0$ 为极小值点

• $f'(x_0) = 0$，$f''(x_0) < 0$ 即有 $x_0$ 为极大值点

利用泰勒展开求极限

展开公式见 泰勒级数 一节，这里使用例略，因为太简单了

斯特林公式

$$n! = \sqrt{2 \pi n} (\dfrac{n}{e})^n, n \to +\infty$$

一元函数高阶求导

高阶求导转为等比数列求和

$f(x) = \dfrac{1}{x^2 - x +1}$，求 $f^{(2022)}(0)$

由立方和公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

得 $f(x) = \dfrac{1 + x}{1 + x^3} = \dfrac{1}{1 + x^3} + x\dfrac{1}{1 + x^3}$

而 $\dfrac{1}{1 + x^3} = \displaystyle\sum_{k = 0}^{\infty} (-x^3)^k, |x^3| < 1$

故 $f(x) = \displaystyle\sum_{k = 0}^{\infty} (-1)^k x^{3k} + \displaystyle\sum_{k = 0}^{\infty} (-1)^k x^{3k + 1}, |x^3| < 1$

故 $f^{(2022)}(0)$ 应该为 $x^{2022}$ 的系数乘以 $2022!$

可得系数为 $(-1)^{674} = 1$，故答案为 $2022!$

除利用立方和公式外，还可利用立方差公式等

高阶求导转为泰勒展开式

$f(x) = x^2\ln{(1 + x)}$，求 $f^{(n)}(0)$

因为 $\ln{(1 + x)} = \displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k + 1} x^k}{k}$

故 $f(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k + 1} x^{k + 2}}{k}$

故 $f^{(n)}(0)$ 应为 $x^{n}$ 的系数乘以 $n!$

可得系数为 $\dfrac{(-1)^{n - 1}}{n - 2}$，故答案为 $\dfrac{(-1)^{n - 1}}{n - 2} n!$

一元函数极限

求 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ 时，要考查 $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)$

若 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, \displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$，则 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (1 + f(x))^{g(x)} = \exp{\lim_{x \to +\infty} f(x)g(x)}$

当分子或分母为根式相加减时，可尝试分子或分母有理化

若有 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = a$，则可以转写为在 $x = x_0$ 的某个领域内 $f(x) = ag(x)$

对于 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f(\dfrac{1}{n})$，不可使用 $x = \dfrac{1}{n}$ 的代换，必须保留 $\dfrac{1}{n}$ 的形式

对于 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty, \displaystyle\lim_{n \to +\infty} y_n = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} z_n = a$，有 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_n [f(y_n) - f(z_n)] = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_n (y_n - z_n) f'(\xi)$，其中 $\xi$ 在 $y_n, z_n$ 之间

极限四则运算存在性

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = A$，$\displaystyle\lim_{x \to a} g(x)$ 不存在，则 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) + g(x)$ 不存在；当 $A \neq 0$ 时，又有 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)g(x)$ 不存在，$A = 0$ 时不确定

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x)$ 均不存在，则 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) + g(x)$ 和 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)g(x)$ 均不确定

一元函数连续、可导、可微的判定和关系

一元函数连续的判定

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处连续

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处左连续，右连续略

一元函数可导的判定

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处可导

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处左可导，右可导略

一元函数可微的判定

• 若 $\Delta{y} = f(x_0 + \Delta{x}) - f(x_0) = A\Delta{x} + \omicron(\Delta{x})$，则称 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处可微，且微分 $\mathrm{d}y = A\Delta{x} = A\mathrm{d}x$

一元函数连续、可导、可微的关系

$$可微 \iff 可导\\ \searrow \swarrow\\ 连续$$

没标注的箭头表示无法推出

导数极限和导数的关系

$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x)$ 存在，无法判断 $f(x)$ 是否在 $x = x_0$ 处连续

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x) = A$，且 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处连续，则 $f'(x_0) = A$，否则不存在

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x) = \infty$，则 $f'(x_0)$ 不存在

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x)$ 不存在且不为 $\infty$，则需要利用 一元函数可导的判定 小节中的判断

间断点

第一类间断点

• 可去间断点：$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，但其于 $f(x_0)$ 不相等或 $f(x_0)$ 无定义

• 跳跃间断点：$\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 与 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 存在但不相等

第二类间断点

$\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ 与 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ 任一不存在

曲率和曲率半径

$$K = \dfrac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$$

$$R = \dfrac{1}{K}$$

曲率半径的推导

若 $x = x(t), y = y(t)$，令 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ 是其在点 $(x, y)$ 的曲率圆

对曲率圆求关于 $t$ 的偏导、二次偏导：

$$\left\{ \begin{align*} (x - a)x' + (y - b)y' &= 0\\ x'^2 + y'^2 + (x - a)x'' + (y - b)y'' &= 0\\ \end{align*} \right.$$

解得

$$\left\{ \begin{align*} x - a &= -\dfrac{x'^2 + y'^2}{x'y'' - x''y'} y'\\ y - b &= \dfrac{x'^2 + y'^2}{x'y'' - x''y'} x'\\ \end{align*} \right.$$

故 $R^2 = \dfrac{(x'^2 + y'^2)^3}{(x'y'' - x''y')^2}$

一般题目会让你求单点的曲率，可以直接代入解上面的方程组

渐近线

先看间断点：左右极限任一为无穷 $\implies$ 铅直渐近线

再看水平或斜渐近线 $y = ax + b$，同样要考查 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 两个方向

一元函数积分

不定积分

原函数存在定理

• 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则在 $[a, b]$ 上存在原函数

• 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有跳跃间断点，则在 $[a, b]$ 上一定不存在原函数

$f(x)$ 不连续时，原函数存在性与定积分存在性可以各不相干

由原函数定义，$F'(x) = f(x)$，故 $F(x)$ 连续

好用的式子

• $\displaystyle\int{ e^{ax} \cos{bx} \mathrm{d}x} = e^{ax} \dfrac{a \cos{bx} + b \sin{bx}}{a^2 + b^2} + C$

• $\displaystyle\int{ e^{ax} \sin{bx} \mathrm{d}x} = e^{ax} \dfrac{a \sin{bx} - b \cos{bx}}{a^2 + b^2} + C$

当 $P(x)$ 为多项式时以下三个式子非常好用

• $\displaystyle\int{ P(x)e^{ax} \mathrm{d}x} = e^{ax} (\dfrac{P}{a} - \dfrac{P'}{a^2} + \dfrac{P''}{a^3} - \cdots) + C$

• $\displaystyle\int{ P(x)\cos{ax} \mathrm{d}x} = \cos{ax} (\dfrac{P'}{a^2} - \dfrac{P'''}{a^4} + \cdots) + \sin{ax} (\dfrac{P}{a} - \dfrac{P''}{a^3} + \cdots) + C$

• $\displaystyle\int{ P(x)\sin{ax} \mathrm{d}x} = \sin{ax} (\dfrac{P'}{a^2} - \dfrac{P'''}{a^4} + \cdots) - \cos{ax} (\dfrac{P}{a} - \dfrac{P''}{a^3} + \cdots) + C$

如何快速拆开分式多项式

例：对 $f(x) = \dfrac{7x - 2}{(2x - 1)(x + 1)} = \dfrac{A}{2x - 1} + \dfrac{B}{x + 1}$

在式子两边同时乘以 $2x - 1$ 得 $\dfrac{7x - 2}{x + 1} = A + \dfrac{2x - 1}{x + 1}B$，令 $x = \dfrac{1}{2}$ 得 $A = 1$

在式子两边同时乘以 $x + 1$ 得 $\dfrac{7x - 2}{2x - 1} = \dfrac{x + 1}{2x - 1}A + B$，令 $x = -1$ 得 $B = 3$

欧拉公式在积分中的应用

令 $y = e^{\mathrm{i}x}$，则

• $2\mathrm{i} \sin{x} = y - \dfrac{1}{y}, 2 \cos{x} = y + \dfrac{1}{y}$

• $2\mathrm{i} \sin{kx} = y^k - \dfrac{1}{y^k}, 2 \cos{kx} = y^k + \dfrac{1}{y^k}, k \in \N$

使用例：

求 $I = \displaystyle\int{\cos^4{x}} \mathrm{d}x$

因为 $(2\cos{x})^4 = (y + \dfrac{1}{y})^4 = y^4 + \dfrac{1}{y^4} + 4(y^2 + \dfrac{1}{y^2}) + 6 = 2 \cos{4x} + 8 \cos{2x} + 6$

故 $\cos^4{x} = \dfrac{\cos{4x}}{8} + \dfrac{\cos{2x}}{2} + \dfrac{3}{8}$

故得 $I = \dfrac{\sin{4x}}{32} + \dfrac{\sin{2x}}{4} + \dfrac{3x}{8} + C$

对不出现奇数次幂的正弦函数的积分都好用，如果出现了，则一般按 $\sin{x} \mathrm{d}x = -\mathrm{d}\cos{x}$ 处理

费曼积分法

若 $f(x, t)$ 在 $R[x \in [a, A], t \in [b, B]]$ 内有定义且连续，且 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{t}}$ 在 $R$ 内连续，则有

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_{a}^{A} f(x, t) \mathrm{d}x = \int_{a}^{A} \dfrac{\partial{f}}{\partial{t}} \mathrm{d}x$$

更一般情况下，当下限为 $u(t)$ 上限为 $v(t)$ 且 $t \in (b, B)$ 时 $u(t) \in [a, A], v(t) \in [a, A]$，则有

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_{u(t)}^{v(t)} f(x, t) \mathrm{d}x = f(v(t), t) \cdot v'(t) - f(u(t), t) \cdot u'(t) + \int_{u(t)}^{v(t)} \dfrac{\partial{f}}{\partial{t}} \mathrm{d}x$$

例：求 $I = \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{(1 + x^2)^2}$

构造 $f(x, t) = \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{t^2 + x^2}$，则 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{t}} = \displaystyle\int\dfrac{-2t \mathrm{d}x}{(t^2 + x^2)^2}$

有 $[\dfrac{\partial{f}}{\partial{t}}]_{t \to 1} = -2I$

故

$$\begin{align*} I &= -\dfrac{1}{2} [\dfrac{\partial{f}}{\partial{t}}]_{t \to 1}\\ &= -\dfrac{1}{2} [\dfrac{\partial{\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{t^2 + x^2}}}{\partial{t}}]_{t \to 1}\\ &= -\dfrac{1}{2} [\dfrac{\partial{\dfrac{1}{t} \arctan{\dfrac{x}{t}}}}{\partial{t}}]_{t \to 1}\\ &= -\dfrac{1}{2} [-\dfrac{1}{t^2} \arctan{\dfrac{x}{t}} - \dfrac{x}{t^3} \dfrac{1}{1 + (\dfrac{x}{t})^2}]_{t \to 1}\\ &= \dfrac{\arctan{x} + \dfrac{x}{1 + x^2}}{2} + C \end{align*}$$

更多信息见 此链接

定积分

反常积分敛散性的判定

反常积分有以下两种可能：

• 无穷限的反常积分——积分上下限任一为无穷：$\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$、$\displaystyle\int_{-\infty}^{b} f(x) \mathrm{d}x$、$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$
• 无界函数的反常积分——积分区间内某点（瑕点）函数值为无穷：$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x$ 且 $\exist{x_0} \in{[a, b]}$ 使 $f(x_0) = \infty$

当然这两种可能可以同时成立，接下来给出判定方法：

首先对无穷限判定，记 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} x^p f(x) \mathrm{d}x = A$

• 若存在 $p > 1$ 使 $A$ 存在则收敛
• 若存在 $p \leqslant 1$ 使 $A$ 为无穷或非零数则发散

不是说上面就完事了，还有其他地方需要判定

再判定瑕点，记 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} (x - x_0)^p f(x) = A$

• 若存在 $p < 1$ 使 $A$ 存在则收敛
• 若存在 $p \geqslant 1$ 使 $A$ 为无穷或非零数则发散

当然你还得判定 $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} (x_0 - x)^p f(x) = A$

只有当各处均收敛时才能判定为收敛

奇偶函数反常积分的敛散性

• 若 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ 收敛，则

$$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \left\{ \begin{align*} &0 & f(x) 为奇函数\\ &2 \int_{0}^{+\infty} f(x) & f(x) 为偶函数\\ \end{align*} \right.$$

• 若 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ 即 $\displaystyle\lim_{A \to +\infty, B \to -\infty}\int_{B}^{A} f(x) \mathrm{d}x$ 存在，则 $\displaystyle\lim_{R \to +\infty} \int_{-R}^{R} f(x)$ 存在；后者无法推出前者

反常积分和的敛散性

$\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$	$\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d}x$	$\displaystyle\int_{a}^{+\infty} [f(x) \pm g(x)] \mathrm{d}x$
收敛	收敛	收敛
收敛	发散	发散
发散	发散	不确定

$\displaystyle\int_{-\infty}^{a} f(x) \mathrm{d}x$	$\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$	$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$
收敛	收敛	收敛
-	-	发散

三角函数的积分特性

以下性质均由区间重现推出

• $\displaystyle\int_{0}^{\pi} xf(\sin{x}) \mathrm{d}x = \dfrac{\pi}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi} f(\sin{x}) \mathrm{d}x$

• $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{x}) \mathrm{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos{x}) \mathrm{d}x$

Wallis 公式

$$\begin{align*} I &= \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^m{x} \cos^n{x} \mathrm{d}x\\ &= \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^m{x} \sin^n{x} \mathrm{d}x\\ &= \left\{ \begin{align*} &\dfrac{(m - 1)!!(n - 1)!!}{(m + n)!!} & m,n 不均为偶数\\ &\dfrac{(m - 1)!!(n - 1)!!}{(m + n)!!} \cdot \frac{\pi}{2} & m,n 均为偶数\\ \end{align*} \right. \end{align*}$$

周期函数的积分特性

• 若 $f(x)$ 为周期为 $T$ 的连续函数，则 $\displaystyle\int_{a}^{a + T} f(x) \mathrm{d}x = \displaystyle\int_{b}^{b + T} f(x) \mathrm{d}x$

一元函数积分转多元函数积分

• 对 $\rho = \rho(\theta)$ 有 $S = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2} \rho^2 \mathrm{d}\theta$，故求 $I = \displaystyle\int_{a}^{b} f^2(\sin{\theta}, \cos{\theta}) \mathrm{d}\theta$ 时，令 $\rho = f(\sin{\theta}, \cos{\theta}), x = \rho \cos{\theta}, y = \rho \sin{\theta}$，转化为二重积分且 $I = 2S$

• 对 $I = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{f(x)}{x} \mathrm{d}x$，令 $\dfrac{1}{x} = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-xy} \mathrm{d}y$，可得 $I = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \mathrm{d}y \cdot \displaystyle\int_{0}^{+\infty} f(x) e^{-xy} \mathrm{d}x$，这对于 $f(x) = e^{ax}$、$f(x) = a \sin{bx} + c \cos{dx}$ 都很好用

参见 此链接 与 此链接

傅汝兰尼积分

$f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续，$a, b > 0$，记 $I =\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{f(ax) - f(bx)}{x} \mathrm{d}x$

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$，则 $I = [f(0) - A] \ln{\dfrac{b}{a}}$

• 若 $\exist k > 0$ 使 $\displaystyle\int_{k}^{+\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ 收敛，则 $I = f(0) \ln{\dfrac{b}{a}}$

• 若 $\exist k > 0$ 使 $\displaystyle\int_{0}^{k} \dfrac{f(x)}{x}$ 收敛，则 $I = -f(+\infty) \ln{\dfrac{b}{a}}$

定积分的应用

平面图形面积

直角坐标 $y = f(x)$ 和 $x = \varphi(y)$ 易推导，极坐标 $S = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{a}^{b} \rho^2{(\theta)} \mathrm{d}\theta$ 也易推导，更多参看 雅可比矩阵

平面曲线弧长

参数方程易推导，直角坐标 $y = f(x)$ 套用参数方程，极坐标 $l = \displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{\rho^2(\theta) + \rho'^2(\theta)} \mathrm{d}\theta$，更多参看 曲线积分与曲面积分

旋转体体积

在此对易推导的情况不做讨论，我们着重介绍以极坐标形式给出时的求法，参见 此链接，更多参看 雅可比矩阵

极坐标下，绕极轴旋转的旋转体体积微元 $\mathrm{d}V = \dfrac{2\pi}{3} \rho^3 \sin{\theta} \mathrm{d}\theta$，推导如下：

考虑角度 $\theta$ 有极小变化 $\mathrm{d}\theta$，则其扫过的扇形所旋转得到的体积 $\mathrm{d}V$ 由其上与原点不同距离的最小面积微元 $\mathrm{d}S$ 旋转得到的最小体积微元 $\mathrm{d}v$ 求和而得

有 $\mathrm{d}S = \rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\rho$，这是一个小长方形

有 $\mathrm{d}v = \mathrm{d}S \cdot 2\pi\rho\sin{\theta}$，再将这个小长方形旋转

有 $\mathrm{d}V = \displaystyle\int_{0}^{\rho} \mathrm{d}v = \int_{0}^{\rho} 2\pi\rho^2\sin{\theta} \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\rho = 2\pi\sin{\theta} \dfrac{\rho^3}{3} \mathrm{d}\theta$，注意这里是对 $\rho$ 积分，将与原点不同距离的 $\mathrm{d}v$ 求和

旋转曲面面积

直角坐标易推导，参数方程套用参数方程，更多参看 曲线积分与曲面积分

向量与空间解析几何

直线方程的几何意义

一般式表示两平面的交线：

$$\left\{ \begin{align*} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\\ \end{align*} \right.$$

其方向向量与两个平面的法向向量垂直，故可令 $\vec{l} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$

对称式和参数式都很容易理解，略

点到平面距离公式的几何意义

$A = (x_0, y_0, z_0)$ 到 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的距离 $d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

取平面上一点 $B = (x_1, y_1, z_1)$ 故显然 $\overrightarrow{BA}$ 在法向量的投影即距离，故 $d = \dfrac{|(A, B, C)(x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0)|}{|(A, B, C)|}$，下略

点到直线距离公式的几何意义

$A = (x_0, y_0, z_0)$ 到通过 $B = (x_1, y_1, z_1)$ 方向向量为 $\vec{n}$ 的直线距离 $d = \dfrac{|\overrightarrow{BA} \times \vec{n}|}{|\vec{n}|}$

因为 $\overrightarrow{BA}$ 和 $\vec{n}$ 所夹平行四边形面积为 $|\overrightarrow{BA} \times \vec{n}|$，故除以底 $|\vec{n}|$ 得高 $d$

空间曲线的切线与法平面方程的几何意义

以参数方程给出时空间曲线的切线与法平面方程的几何意义

若曲线参数方程为：

$$\left\{ \begin{align*} x = x(t)\\ y = y(t)\\ z = z(t)\\ \end{align*} \right.$$

则其上一点的切向量 $\vec{l} = (x', y', z')$

结合物理意义来看，将 $t$ 视为时间，那么各个方向，如 $x$ 方向上位置关于时间的函数 $x(t)$ 的导数 $x'(t)$ 就是该方向上速度，有 $\vec{l_x} = (x', 0, 0)$，又因为速度是矢量，故叠加得到 $\vec{l}$

有了切向量，那么切线和法平面的方程的几何意义很明显了，略

以方程组给出时空间曲线的切线与法平面方程的几何意义

若曲线方程组为：

$$\left\{ \begin{align*} F(x, y, z) = 0\\ G(x, y, z) = 0\\ \end{align*} \right.$$

其表示两曲面的交线，我们考虑交线上一点 $(x_0, y_0, z_0)$，在 $F$ 上有法向量 $\vec{n_1}$，具体求法见 以隐函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义，在 $G$ 上有法向量 $\vec{n_2}$，显然交线上该点的方向向量 $\vec{l} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$

可以注意到 直线方程的几何意义 就是本节的一个特例

空间曲面的切平面与法线方程的几何意义

以隐函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义

若曲面方程为 $F(x, y, z) = 0$：

考虑曲面上原来一点 $(x_0, y_0, z_0)$ 经过微小变动到底曲面上另一点 $(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y, z_0 + \Delta z)$

故由全增量公式有 $F(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y, z_0 + \Delta z) = F(x_0, y_0, z_0) + \dfrac{\partial{F}}{\partial{x}} \Delta x + \dfrac{\partial{F}}{\partial{y}} \Delta y + \dfrac{\partial{F}}{\partial{z}} \Delta z = 0$

而 $F(x_0, y_0, z_0) = 0$，故 $\dfrac{\partial{F}}{\partial{x}} \Delta x + \dfrac{\partial{F}}{\partial{y}} \Delta y + \dfrac{\partial{F}}{\partial{z}} \Delta z = 0$

其可视作为两个向量 $\vec{n} = (\dfrac{\partial{F}}{\partial{x}}, \dfrac{\partial{F}}{\partial{y}}, \dfrac{\partial{F}}{\partial{z}})$、$\vec{l} = (\Delta{x} ,\Delta{y} ,\Delta{z})$ 的点积，这说明两向量垂直

又由于 $\vec{l}$ 是我们任意取的，而 $\vec{n}$ 对于所有的 $\vec{l}$ 都有垂直关系，因而 $\vec{n}$ 就是该点的法向量

此外其 $\vec{n}$ 也被称为梯度，利用 Nabla 算子、环量、旋度、格林公式与斯托克斯公式 一节中的知识，我们将其记作 $\vec{\nabla}F$，注意这里的 $F$ 与 $\vec{\nabla}$ 的运算与向量数乘类似，其结果是个向量

以显函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义

若曲面以 $z = f(x, y)$ 的形式给出：

利用 以隐函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义 的结论，取 $F(x, y, z) = f(x, y) - z = 0$ 即可

多元函数微分

多元函数求导

• 若 $z = z(x, y)$ 则

$$\mathrm{d}z = \dfrac{\partial{z}}{\partial{x}} \mathrm{d}x + \dfrac{\partial{z}}{\partial{y}} \mathrm{d}y$$

• 若 $z = z(u, v), u = u(x, y), v = v(x, y)$ 则

$$\dfrac{\partial{z}}{\partial{x}} = \dfrac{\partial{z}}{\partial{u}} \dfrac{\partial{u}}{\partial{x}} + \dfrac{\partial{u}}{\partial{v}} \dfrac{\partial{v}}{\partial{x}}$$

$$\dfrac{\partial{z}}{\partial{y}} = \dfrac{\partial{z}}{\partial{u}} \dfrac{\partial{u}}{\partial{y}} + \dfrac{\partial{u}}{\partial{v}} \dfrac{\partial{v}}{\partial{y}}$$

• 若 $I(x) = \displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \mathrm{d}t$，则 $\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = f(v) v' - f(u) u'$，当积分内不单为关于 $t$ 的函数时，需要代换变量，注意该式和 费曼积分法 中式子的不同

二元函数极限

若有 $\displaystyle\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} \dfrac{F(x, y)}{G(x, y)} = a$，则可以转写为在 $(x_0, y_0)$ 的某个领域内 $F(x, y) = aG(x, y)$

错误使用例：

设 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 的某去心领域内连续，且满足 $\displaystyle\lim_{x \to 0, y \to 0} \dfrac{f(x, y) - f(0, 0)}{x^2 + 1 - x\sin{y}} = -3$，则函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处 ____

这题若转写了，那么 $f(x, y) = -3(x^2 + 1 - x\sin{y}) + f(0, 0)$，以此推导会得出非极值点的结论，但我们假定的这个函数是有问题的，代入 $(0, 0)$ 会发现 $f(0, 0)$ 无解，即不存在那样的连续的、二阶可导的函数满足题意，实际上题目也提醒了去心，而我们这个心是有问题的，所以不能转写

这种题还是利用定义做好些

二元函数连续、偏导存在、偏导连续、可微的判定和关系

二元函数连续的判定

若 $\displaystyle\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$，则称 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处连续

可令 $x = \rho\cos{\theta}, y = \rho\sin{\theta}$ 进行代换，若极限结果与 $\theta$ 相关不等于 $f(x_0, y_0)$，则不连续

二元函数偏导存在的判定

• 若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x, y_0) - f(x_0, y_0)}{x - x_0}$ 存在，则称 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 关于 $x$ 的偏导存在，记作 $f'_x(x_0, y_0)$

• 若 $\displaystyle\lim_{y \to y_0} \dfrac{f(x_0, y) - f(x_0, y_0)}{y - y_0}$ 存在，则称 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 关于 $y$ 的偏导存在，记作 $f'_y(x_0, y_0)$

二元函数偏导连续的判定

• 若 $\displaystyle\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} \dfrac{\partial{f(x, y)}}{\partial{x}} = f'_x(x_0, y_0)$，则称 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 关于 $x$ 的偏导连续

• 若 $\displaystyle\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} \dfrac{\partial{f(x, y)}}{\partial{y}} = f'_y(x_0, y_0)$，则称 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 关于 $y$ 的偏导连续

二元函数可微的判定

先判定 $f'_x(x_0, y_0)$ 和 $f'_y(x_0, y_0)$ 是否都存在，存在则进行下一步，否则不可微

考查极限

$$\lim_{(\Delta{x}, \Delta{y}) \to (0, 0)} \dfrac{f(x_0 + \Delta{x}, y_0 + \Delta{y}) - f(x_0, y_0) - f'_x(x_0, y_0) \Delta{x} - f'_y(x_0, y_0) \Delta{y}}{\sqrt{\Delta{x}^2 + \Delta{y}^2}}$$

是否为零，是则称 $f'(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 可微，否则不可微

二元函数连续、偏导存在、偏导连续、可微的关系

$$\begin{align*} 二元函数两个偏导都在 (x_0, y_0) 连续 \implies& f(x, y) 在 (x_0, y_0) 可微 \implies f(x, y) 在 (x_0, y_0) 连续\\ &\Downarrow\\ &二元函数两个偏导都存在 \end{align*}$$

没标注的箭头表示无法推出

多元函数极值点的判定

对 $z = F(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 有连续的二阶偏导数，且 $f'_x = 0, f'_y = 0$，记 $f''_{xx} = A, f''_{xy} = B, f''_{yy} = C$，则

• $AC - B^2 > 0$，且 $A > 0$ 时取极小值，$A < 0$ 时取极大值
• $AC - B^2 < 0$，不是极值点
• $AC - B^2 = 0$，不能确定，用定义讨论

多元函数积分

轮换对称性

若 $D \subset \R^2$ 且 $\forall{(x, y) \in D}$ 都有 $(y, x) \in D$，则 $D$ 具有轮换对称性

例：求 $I = \displaystyle\iint_{D} (\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，$D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leqslant R^2\}$

因为 $D$ 满足轮换对称性，故 $I = \displaystyle\iint_{D} (\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

故 $2I = (\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2}) \displaystyle\iint_{D} (x^2 + y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，下略

当然对于更高维也有相似结论，此处略

雅可比矩阵

在进行二元函数积分时我们想进行换元，但 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 该换成什么呢？

我们来探讨一下令 $x = x(u, v)$，$y = y(u, v)$ 到底是什么意思——是这样的一个函数 $F$ 作用于向 $\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}$ 后输出 $\begin{bmatrix}x(u, v)\\y(u, v)\end{bmatrix}$

我们考虑极小区域上输入的微小变动与输出的微小变动，其可视作线性变换，记 $J = \begin{bmatrix}k_1 & k_3 \\ k_2 & k_4\end{bmatrix}$，我们来推导该值

对于 $\begin{bmatrix}\mathrm{d}u \\ 0\end{bmatrix}$，有 $J \begin{bmatrix}\mathrm{d}u \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}k_1\mathrm{d}u \\ k_2\mathrm{d}u\end{bmatrix}$

而这又对应参数方程的极小方向向量，故

$k_1 \mathrm{d}u = \dfrac{\partial{x}}{\partial{u}} \cdot \mathrm{d}u \implies k_1 = \dfrac{\partial{x}}{\partial{u}}$

$k_2 \mathrm{d}u = \dfrac{\partial{y}}{\partial{u}} \cdot \mathrm{d}u \implies k_2 = \dfrac{\partial{y}}{\partial{u}}$

同理 $k_3 = \dfrac{\partial{x}}{\partial{v}}$，$k_4 = \dfrac{\partial{y}}{\partial{v}}$

故 $J = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial{x}}{\partial{u}} & \dfrac{\partial{x}}{\partial{v}} \\ \dfrac{\partial{y}}{\partial{u}} & \dfrac{\partial{y}}{\partial{v}}\end{bmatrix}$

又有面积微元比例 $\mathrm{abs}\det{J} \cdot \mathrm{d}u\mathrm{d}v = \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

详情可见 3Blue1Brown 《雅可比矩阵下：所谓的雅可比行列式》

且由此可见平面直角坐标转极坐标时 $\mathrm{abs} \det{J}$ 就等于 $\rho$

这对多元函数也是成立的，如三维直角坐标转极坐标时 $\mathrm{abs} \det{J} = \rho^2\sin{\varphi}$

曲线积分与曲面积分

该节内容不严谨，很多讨论都只限于二维、三维情况

部分参照 此链接

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散度与旋度：麦克斯韦方程组、流体等所用到的语言

nabla 算子 与梯度、散度、旋度

第一类曲线积分

第一类曲线积分与积分方向无关，这适用于标量场

例线密度 $\rho(x, y)$，则线质量 $M = \displaystyle\int_{L} \rho(x, y) \mathrm{d}s$

而第一类曲线积分的解法也通常是找到这样一个变量 $t$，使得 $x = x(t), y = y(t)$ 且保向

从而 $\mathrm{d}x = x'(t) \mathrm{d}t, \mathrm{d}y = y'(t) \mathrm{d}t \implies \mathrm{d}s = \sqrt{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2} = \sqrt{x'^2 + y'^2} \mathrm{d}t$

对于更高维的可以类比推理

实际上，第一类曲线积分也可以换元，详见 此链接，但这疑似记不住故仅供了解，但极坐标代换还是要记的，曲线微元 $\mathrm{d}s = \sqrt{\rho^2 + \rho'^2} \mathrm{d}\theta$

第二类曲线积分

第二类曲线积分与积分方向有关，这适用于矢量场

例力场 $\vec{F}(x, y) = \begin{bmatrix}F_x(x, y) \\ F_y(x, y)\end{bmatrix}$，则做功

$$W_{\vec{L}} = \displaystyle\int_{\vec{L}} \vec{F}\mathrm{d}\vec{s} = \displaystyle\int_{\vec{L}} F_x\mathrm{d}x + F_y\mathrm{d}y$$

且显然有 $W_{\vec{L}} = -W_{-\vec{L}}$

类似于第一类曲线积分，可以使用参数方程求解

对于封闭曲线，见下小节；对于非封闭曲线，补全曲线为封闭曲线，并对补线使用参数方程法

Nabla 算子、环量、旋度、格林公式与斯托克斯公式

当 $L$ 为闭合曲线时，该曲线积分即 $\vec{F}$ 沿着曲线 $L$ 的环量

利用 $W_{\vec{L}} = -W_{-\vec{L}}$，我们可以将环所包面域分割为无穷多小面域 $\mathrm{d}\vec{S}$

$$\displaystyle\oint_{\partial{D}}\vec{F}\mathrm{d}\vec{s} = \displaystyle\iint_{D} \vec{\nabla} \times \vec{F} \mathrm{d}\vec{S}$$

这里 $D$ 与 $\partial{D}$ 的定义略，这里的 $\vec{\nabla}$ 称作 Nabla 算子，也称哈密顿算子

$$\vec{\nabla} = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial}{\partial{x_1}} \\ \vdots \\ \dfrac{\partial}{\partial{x_n}}\end{bmatrix}$$