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一元函数微分

一元函数极值点、拐点的判定

  • 极值点:看 x0x_0 左右两侧是否为局部最大(小)值;极值点是横坐标

  • 拐点:看 f(x)f''(x) 是否在 x0x_0 左右两侧异号,该点本身可以不可导,且 f(x)>0f''(x) > 0 时为凹函数,f(x)<0f''(x) < 0 时为凸函数;拐点是点

极值点判别法则

对函数 f(x)f(x)x=x0x = x_0 处若存在 nNn \in \N^* 使得

  • f(x0)=f(x0)==f(n1)(x0)=0f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n - 1)}(x_0) = 0f(n)(x0)>0f^{(n)}(x_0) > 0,则当 nn 为偶数时,x0x_0 为极小值点

  • f(x0)=f(x0)==f(n1)(x0)=0f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n - 1)}(x_0) = 0f(n)(x0)<0f^{(n)}(x_0) < 0,则当 nn 为偶数时,x0x_0 为极大值点

nn 为奇数时 x0x_0 既不是极大值点,也不是极小值点

一般取 n=2n = 2,即一般来说

  • f(x0)=0f'(x_0) = 0f(x0)>0f''(x_0) > 0 即有 x0x_0 为极小值点

  • f(x0)=0f'(x_0) = 0f(x0)<0f''(x_0) < 0 即有 x0x_0 为极大值点

利用泰勒展开求极限

展开公式见 泰勒级数 一节,这里使用例略,因为太简单了

斯特林公式

n!=2πn(ne)n,n+n! = \sqrt{2 \pi n} (\dfrac{n}{e})^n, n \to +\infty

一元函数高阶求导

高阶求导转为等比数列求和

f(x)=1x2x+1f(x) = \dfrac{1}{x^2 - x +1},求 f(2022)(0)f^{(2022)}(0)

由题 f(x)=1+x1+x3=11+x3+x11+x3f(x) = \dfrac{1 + x}{1 + x^3} = \dfrac{1}{1 + x^3} + x\dfrac{1}{1 + x^3}

11+x3=k=0(x3)k,x3<1\dfrac{1}{1 + x^3} = \displaystyle\sum_{k = 0}^{\infty} (-x^3)^k, |x^3| < 1

f(x)=k=0(1)kx3k+k=0(1)kx3k+1,x3<1f(x) = \displaystyle\sum_{k = 0}^{\infty} (-1)^k x^{3k} + \displaystyle\sum_{k = 0}^{\infty} (-1)^k x^{3k + 1}, |x^3| < 1

f(n)(0)f^{(n)}(0) 应该为 x2022x^{2022} 的系数乘以 2022!2022!

可得系数为 (1)674=1(-1)^{674} = 1,故答案为 2022!2022!

高阶求导转为泰勒展开式

f(x)=x2ln(1+x)f(x) = x^2\ln{(1 + x)},求 f(n)(0)f^{(n)}(0)

因为 ln(1+x)=k=1(1)k+1xkk\ln{(1 + x)} = \displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k + 1} x^k}{k}

f(x)=k=1(1)k+1xk+2kf(x) = \displaystyle\sum_{k = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k + 1} x^{k + 2}}{k}

f(n)(0)f^{(n)}(0) 应为 xnx^{n} 的系数乘以 n!n!

可得系数为 (1)n1n2\dfrac{(-1)^{n - 1}}{n - 2},故答案为 (1)n1n2n!\dfrac{(-1)^{n - 1}}{n - 2} n!

一元函数极限

limxaf(x)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) 时,要考查 limxa+f(x)\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)limxaf(x)\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)

limx+f(x)=0,limx+g(x)=+\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0, \displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty,则 limx+(1+f(x))g(x)=explimx+f(x)g(x)\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (1 + f(x))^{g(x)} = \exp{\lim_{x \to +\infty} f(x)g(x)}

当分子或分母为根式相加减时,可尝试分子或分母有理化

若有 limxx0f(x)g(x)=a\displaystyle\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = a,则可以转写为在 x=x0x = x_0 的某个领域内 f(x)=ag(x)f(x) = ag(x)

对于 limn+f(1n)\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f(\dfrac{1}{n}),不可使用 x=1nx = \dfrac{1}{n} 的代换,必须保留 1n\dfrac{1}{n} 的形式

对于 limn+xn=+,limn+yn=limn+zn=a\displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty, \displaystyle\lim_{n \to +\infty} y_n = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} z_n = a,有 limn+xn[f(yn)f(zn)]=limn+xn(ynzn)f(ξ)\displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_n [f(y_n) - f(z_n)] = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_n (y_n - z_n) f'(\xi),其中 ξ\xiyn,zny_n, z_n 之间

极限四则运算存在性

  • limxaf(x)=A\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = Alimxag(x)\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) 不存在,则 limxaf(x)+g(x)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) + g(x) 不存在;当 A0A \neq 0 时,又有 limxaf(x)g(x)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)g(x) 不存在,A=0A = 0 时不确定

  • limxaf(x)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)limxag(x)\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) 均不存在,则 limxaf(x)+g(x)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) + g(x)limxaf(x)g(x)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)g(x) 均不确定

一元函数连续、可导、可微的判定和关系

一元函数连续的判定

  • limxx0f(x)=f(x0)\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0),则称 f(x)f(x)x=x0x = x_0 处连续

  • limxx0f(x)=f(x0)\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0),则称 f(x)f(x)x=x0x = x_0 处左连续,右连续略

一元函数可导的判定

  • limxx0f(x)f(x0)xx0\displaystyle\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} 存在,则称 f(x)f(x)x=x0x = x_0 处可导

  • limxx0f(x)f(x0)xx0\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} 存在,则称 f(x)f(x)x=x0x = x_0 处左可导,右可导略

一元函数可微的判定

  • Δy=f(x0+Δx)f(x0)=AΔx+ο(Δx)\Delta{y} = f(x_0 + \Delta{x}) - f(x_0) = A\Delta{x} + \omicron(\Delta{x}),则称 f(x)f(x)x=x0x = x_0 处可微,且微分 dy=AΔx=Adx\mathrm{d}y = A\Delta{x} = A\mathrm{d}x

一元函数连续、可导、可微的关系

可微    可导连续可微 \iff 可导\\ \searrow \swarrow\\ 连续

没标注的箭头表示无法推出

导数极限和导数的关系

limxx0f(x)\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x) 存在,无法判断 f(x)f(x) 是否在 x=x0x = x_0 处连续

  • limxx0f(x)=A\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x) = A,且 f(x)f(x)x=x0x = x_0 处连续,则 f(x0)=Af'(x_0) = A,否则不存在

  • limxx0f(x)=\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x) = \infty,则 f(x0)f'(x_0) 不存在

  • limxx0f(x)\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x) 不存在且不为 \infty,则需要利用 一元函数可导的判定 小节中的判断

间断点

第一类间断点

  • 可去间断点:limxx0f(x)\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) 存在,但其于 f(x0)f(x_0) 不相等或 f(x0)f(x_0) 无定义

  • 跳跃间断点:limxx0+f(x)\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x)limxx0f(x)\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) 存在但不相等

第二类间断点

limxx0+f(x)\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x)limxx0f(x)\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) 任一不存在

曲率和曲率半径

K=xyxy(x2+y2)32K = \dfrac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}

R=1KR = \dfrac{1}{K}

曲率半径的推导

x=x(t),y=y(t)x = x(t), y = y(t),令 (xa)2+(yb)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 是其在点 (x,y)(x, y) 的曲率圆

对曲率圆求关于 tt 的偏导、二次偏导:

{(xa)x+(yb)y=0x2+y2+(xa)x+(yb)y=0\left\{ \begin{align*} (x - a)x' + (y - b)y' &= 0\\ x'^2 + y'^2 + (x - a)x'' + (y - b)y'' &= 0\\ \end{align*} \right.

解得

{xa=x2+y2xyxyyyb=x2+y2xyxyx\left\{ \begin{align*} x - a &= -\dfrac{x'^2 + y'^2}{x'y'' - x''y'} y'\\ y - b &= \dfrac{x'^2 + y'^2}{x'y'' - x''y'} x'\\ \end{align*} \right.

R2=(x2+y2)3(xyxy)2R^2 = \dfrac{(x'^2 + y'^2)^3}{(x'y'' - x''y')^2}

一般题目会让你求单点的曲率,可以直接代入解上面的方程组

渐近线

先看间断点:左右极限任一为无穷     \implies 铅直渐近线

再看水平或斜渐近线 y=ax+by = ax + b,同样要考查 x+x \to +\inftyxx \to -\infty 两个方向

一元函数积分

不定积分

原函数存在定理

  • f(x)f(x)[a,b][a, b] 上连续,则在 [a,b][a, b] 上存在原函数

  • f(x)f(x)[a,b][a, b] 上有跳跃间断点,则在 [a,b][a, b] 上一定不存在原函数

f(x)f(x) 不连续时,原函数存在性与定积分存在性可以各不相干

由原函数定义,F(x)=f(x)F'(x) = f(x),故 F(x)F(x) 连续

好用的式子

  • eaxcosbxdx=eaxacosbx+bsinbxa2+b2+C\displaystyle\int{ e^{ax} \cos{bx} \mathrm{d}x} = e^{ax} \dfrac{a \cos{bx} + b \sin{bx}}{a^2 + b^2} + C

  • eaxsinbxdx=eaxasinbxbcosbxa2+b2+C\displaystyle\int{ e^{ax} \sin{bx} \mathrm{d}x} = e^{ax} \dfrac{a \sin{bx} - b \cos{bx}}{a^2 + b^2} + C

P(x)P(x) 为多项式时以下三个式子非常好用

  • P(x)eaxdx=eax(PaPa2+Pa3)+C\displaystyle\int{ P(x)e^{ax} \mathrm{d}x} = e^{ax} (\dfrac{P}{a} - \dfrac{P'}{a^2} + \dfrac{P''}{a^3} - \cdots) + C

  • P(x)cosaxdx=cosax(Pa2Pa4+)+sinax(PaPa3+)+C\displaystyle\int{ P(x)\cos{ax} \mathrm{d}x} = \cos{ax} (\dfrac{P'}{a^2} - \dfrac{P'''}{a^4} + \cdots) + \sin{ax} (\dfrac{P}{a} - \dfrac{P''}{a^3} + \cdots) + C

  • P(x)sinaxdx=sinax(Pa2Pa4+)cosax(PaPa3+)+C\displaystyle\int{ P(x)\sin{ax} \mathrm{d}x} = \sin{ax} (\dfrac{P'}{a^2} - \dfrac{P'''}{a^4} + \cdots) - \cos{ax} (\dfrac{P}{a} - \dfrac{P''}{a^3} + \cdots) + C

如何快速拆开分式多项式

例:对 f(x)=7x2(2x1)(x+1)=A2x1+Bx+1f(x) = \dfrac{7x - 2}{(2x - 1)(x + 1)} = \dfrac{A}{2x - 1} + \dfrac{B}{x + 1}

在式子两边同时乘以 2x12x - 17x2x+1=A+2x1x+1B\dfrac{7x - 2}{x + 1} = A + \dfrac{2x - 1}{x + 1}B,令 x=12x = \dfrac{1}{2}A=1A = 1

在式子两边同时乘以 x+1x + 17x22x1=x+12x1A+B\dfrac{7x - 2}{2x - 1} = \dfrac{x + 1}{2x - 1}A + B,令 x=1x = -1B=3B = 3

欧拉公式在积分中的应用

y=eixy = e^{ix},则

  • 2isinx=y1y,2cosx=y+1y2i \sin{x} = y - \dfrac{1}{y}, 2 \cos{x} = y + \dfrac{1}{y}

  • 2isinkx=yk1yk,2coskx=yk+1yk,kN2i \sin{kx} = y^k - \dfrac{1}{y^k}, 2 \cos{kx} = y^k + \dfrac{1}{y^k}, k \in \N

使用例:

I=cos4xdxI = \displaystyle\int{\cos^4{x}} \mathrm{d}x

因为 (2cosx)4=(y+1y)4=y4+1y4+4(y2+1y2)+6=2cos4x+8cos2x+6(2\cos{x})^4 = (y + \dfrac{1}{y})^4 = y^4 + \dfrac{1}{y^4} + 4(y^2 + \dfrac{1}{y^2}) + 6 = 2 \cos{4x} + 8 \cos{2x} + 6

cos4x=cos4x8+cos2x2+38\cos^4{x} = \dfrac{\cos{4x}}{8} + \dfrac{\cos{2x}}{2} + \dfrac{3}{8}

故得 I=sin4x32+sin2x4+3x8+CI = \dfrac{\sin{4x}}{32} + \dfrac{\sin{2x}}{4} + \dfrac{3x}{8} + C

对不出现奇数次幂的正弦函数的积分都好用,如果出现了,则一般按 sinx=dcosx\sin{x} = -\mathrm{d}\cos{x} 处理

费曼积分法

f(x,t)f(x, t)R[x[a,A],t[b,B]]R[x \in [a, A], t \in [b, B]] 内有定义且连续,且 ft\dfrac{\partial{f}}{\partial{t}}RR 内连续,则有

ddtaAf(x,t)dx=aAftdx\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_{a}^{A} f(x, t) dx = \int_{a}^{A} \dfrac{\partial{f}}{\partial{t}} \mathrm{d}x

更一般情况下,当下限为 u(t)u(t) 上限为 v(t)v(t)t(b,B)t \in (b, B)u(t)[a,A],v(t)[a,A]u(t) \in [a, A], v(t) \in [a, A],则有

ddtu(t)v(t)f(x,t)dx=f(v(t),t)v(t)f(u(t),t)u(t)+u(t)v(t)ftdx\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_{u(t)}^{v(t)} f(x, t) dx = f(v(t), t) \cdot v'(t) - f(u(t), t) \cdot u'(t) + \int_{u(t)}^{v(t)} \dfrac{\partial{f}}{\partial{t}} \mathrm{d}x

例:求 I=dx(1+x2)2I = \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{(1 + x^2)^2}

构造 f(x,t)=dxt2+x2f(x, t) = \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{t^2 + x^2},则 ft=2tdx(t2+x2)2\dfrac{\partial{f}}{\partial{t}} = \displaystyle\int\dfrac{-2t \mathrm{d}x}{(t^2 + x^2)^2}

[ft]t1=2I[\dfrac{\partial{f}}{\partial{t}}]_{t \to 1} = -2I

I=12[ft]t1=12[dxt2+x2t]t1=12[1tarctanxtt]t1=12[1t2arctanxtxt311+(xt)2]t1=arctanx+x1+x22+C\begin{align*} I &= -\dfrac{1}{2} [\dfrac{\partial{f}}{\partial{t}}]_{t \to 1}\\ &= -\dfrac{1}{2} [\dfrac{\partial{\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{t^2 + x^2}}}{\partial{t}}]_{t \to 1}\\ &= -\dfrac{1}{2} [\dfrac{\partial{\dfrac{1}{t} \arctan{\dfrac{x}{t}}}}{\partial{t}}]_{t \to 1}\\ &= -\dfrac{1}{2} [-\dfrac{1}{t^2} \arctan{\dfrac{x}{t}} - \dfrac{x}{t^3} \dfrac{1}{1 + (\dfrac{x}{t})^2}]_{t \to 1}\\ &= \dfrac{\arctan{x} + \dfrac{x}{1 + x^2}}{2} + C \end{align*}

更多信息见 此链接

定积分

反常积分敛散性的判定

反常积分有以下两种可能:

  • 无穷限的反常积分——积分上下限任一为无穷:a+f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}xbf(x)dx\displaystyle\int_{-\infty}^{b} f(x) \mathrm{d}x+f(x)dx\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x
  • 无界函数的反常积分——积分区间内某点(瑕点)函数值为无穷:abf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}xx0[a,b]\exist{x_0} \in{[a, b]} 使 f(x0)=f(x_0) = \infty

当然这两种可能可以同时成立,接下来给出判定方法:

首先对无穷限判定,记 limxxpf(x)dx=A\displaystyle\lim_{x \to \infty} x^p f(x) \mathrm{d}x = A

  • 若存在 p>1p > 1 使 AA 存在则收敛
  • 若存在 p1p \le 1 使 AA 为无穷或非零数则发散

不是说上面就完事了,还有其他地方需要判定

再判定瑕点,记 limxx0+(xx0)pf(x)=A\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} (x - x_0)^p f(x) = A

  • 若存在 p<1p < 1 使 AA 存在则收敛
  • 若存在 p1p \ge 1 使 AA 为无穷或非零数则发散

当然你还得判定 limxx0(x0x)pf(x)=A\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} (x_0 - x)^p f(x) = A

只有当各处均收敛时才能判定为收敛

奇偶函数反常积分的敛散性
  • +f(x)dx\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x 收敛,则

+f(x)dx={0f(x)为奇函数20+f(x)f(x)为偶函数\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \left\{ \begin{align*} &0 & f(x) 为奇函数\\ &2 \int_{0}^{+\infty} f(x) & f(x) 为偶函数\\ \end{align*} \right.

  • +f(x)dx\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}xlimA+,BBAf(x)dx\displaystyle\lim_{A \to +\infty, B \to -\infty}\int_{B}^{A} f(x) \mathrm{d}x 存在,则 limR+RRf(x)\displaystyle\lim_{R \to +\infty} \int_{-R}^{R} f(x) 存在;后者无法推出前者
反常积分和的敛散性
a+f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x a+g(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d}x a+[f(x)±g(x)]dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} [f(x) \pm g(x)] \mathrm{d}x
收敛 收敛 收敛
收敛 发散 发散
发散 发散 不确定
af(x)dx\displaystyle\int_{-\infty}^{a} f(x) \mathrm{d}x a+f(x)dx\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x +f(x)dx\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x
收敛 收敛 收敛
- - 发散

三角函数的积分特性

以下性质均由区间重现推出

  • 0πxf(sinx)dx=π20πf(sinx)dx\displaystyle\int_{0}^{\pi} xf(\sin{x}) \mathrm{d}x = \dfrac{\pi}{2} \displaystyle\int_{0}^{\pi} f(\sin{x}) \mathrm{d}x

  • 0π2f(sinx)dx=0π2f(cosx)dx\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin{x}) \mathrm{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos{x}) \mathrm{d}x

Wallis 公式

I=0π2sinmxcosnxdx=0π2cosmxsinnxdx={(m1)!!(n1)!!(m+n)!!m,n不均为偶数(m1)!!(n1)!!(m+n)!!π2m,n均为偶数\begin{align*} I &= \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^m{x} \cos^n{x} \mathrm{d}x\\ &= \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^m{x} \sin^n{x} \mathrm{d}x\\ &= \left\{ \begin{align*} &\dfrac{(m - 1)!!(n - 1)!!}{(m + n)!!} & m,n 不均为偶数\\ &\dfrac{(m - 1)!!(n - 1)!!}{(m + n)!!} \cdot \frac{\pi}{2} & m,n 均为偶数\\ \end{align*} \right. \end{align*}

周期函数的积分特性

  • f(x)f(x) 为周期为 TT 的连续函数,则 aa+Tf(x)dx=bb+Tf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{a + T} f(x) \mathrm{d}x = \displaystyle\int_{b}^{b + T} f(x) \mathrm{d}x

一元函数积分转多元函数积分

  • ρ=ρ(θ)\rho = \rho(\theta)S=12θ1θ2ρ2dθS = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2} \rho^2 \mathrm{d}\theta,故求 I=abf2(sinθ,cosθ)dθI = \displaystyle\int_{a}^{b} f^2(\sin{\theta}, \cos{\theta}) \mathrm{d}\theta 时,令 ρ=f(sinθ,cosθ),x=ρcosθ,y=ρsinθ\rho = f(\sin{\theta}, \cos{\theta}), x = \rho \cos{\theta}, y = \rho \sin{\theta},转化为二重积分且 I=2SI = 2S

  • I=0+f(x)xdxI = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{f(x)}{x} \mathrm{d}x,令 1x=0+exydy\dfrac{1}{x} = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-xy} \mathrm{d}y,可得 I=0+dy0+f(x)exydxI = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \mathrm{d}y \cdot \displaystyle\int_{0}^{+\infty} f(x) e^{-xy} \mathrm{d}x,这对于 f(x)=eaxf(x) = e^{ax}f(x)=asinbx+ccosdxf(x) = a \sin{bx} + c \cos{dx} 都很好用

参见 此链接此链接

傅汝兰尼积分

f(x)f(x)[0,+)[0, +\infty) 上连续,a,b>0a, b > 0,记 I=0+f(ax)f(bx)xdxI =\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{f(ax) - f(bx)}{x} \mathrm{d}x

  • limx+f(x)=A\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = A,则 I=[f(0)A]lnbaI = [f(0) - A] \ln{\dfrac{b}{a}}

  • k>0\exist k > 0 使 k+f(x)x\displaystyle\int_{k}^{+\infty} \dfrac{f(x)}{x} 收敛,则 I=f(0)lnbaI = f(0) \ln{\dfrac{b}{a}}

  • k>0\exist k > 0 使 0kf(x)x\displaystyle\int_{0}^{k} \dfrac{f(x)}{x} 收敛,则 I=f(+)lnbaI = -f(+\infty) \ln{\dfrac{b}{a}}

定积分的应用

平面图形面积

直角坐标 y=f(x)y = f(x)x=φ(y)x = \varphi(y) 易推导,极坐标 S=12abρ2(θ)dθS = \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{a}^{b} \rho^2{(\theta)} \mathrm{d}\theta 也易推导,更多参看 雅可比矩阵

平面曲线弧长

参数方程易推导,直角坐标 y=f(x)y = f(x) 套用参数方程,极坐标 l=abρ2(θ)+ρ2(θ)dθl = \displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{\rho^2(\theta) + \rho'^2(\theta)} \mathrm{d}\theta,更多参看 曲线积分与曲面积分

旋转体体积

易推导,略,更多参看 雅可比矩阵

旋转曲面面积

直角坐标易推导,参数方程套用参数方程,更多参看 曲线积分与曲面积分

向量与空间解析几何

直线方程的几何意义

一般式表示两平面的交线:

{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0\left\{ \begin{align*} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\\ \end{align*} \right.

其方向向量与两个平面的法向向量垂直,故可令 l=n1×n2\vec{l} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}

对称式和参数式都很容易理解,略

点到平面距离公式的几何意义

A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0)Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 的距离 d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

取平面上一点 B=(x1,y1,z1)B = (x_1, y_1, z_1) 故显然 BA\overrightarrow{BA} 在法向量的投影即距离,故 d=(A,B,C)(x1x0,y1y0,z1z0)(A,B,C)d = \dfrac{|(A, B, C)(x_1 - x_0, y_1 - y0, z_1 - z_0)|}{|(A, B, C)|},下略

点到直线距离公式的几何意义

A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) 到通过 B=(x1,y1,z1)B = (x_1, y_1, z_1) 方向向量为 n\vec{n} 的直线距离 d=BA×nnd = \dfrac{|\overrightarrow{BA} \times \vec{n}|}{|\vec{n}|}

因为 BA\overrightarrow{BA}n\vec{n} 所夹平行四边形面积为 BA×n|\overrightarrow{BA} \times \vec{n}|,故除以底 n|\vec{n}| 得高 dd

多元函数微分

多元函数求导

  • z=z(x,y)z = z(x, y)

du=zxdx+zydy\mathrm{d}u = \dfrac{\partial{z}}{\partial{x}} \mathrm{d}x + \dfrac{\partial{z}}{\partial{y}} \mathrm{d}y

  • z=z(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)z = z(u, v), u = u(x, y), v = v(x, y)

zx=zuux+uvvx\dfrac{\partial{z}}{\partial{x}} = \dfrac{\partial{z}}{\partial{u}} \dfrac{\partial{u}}{\partial{x}} + \dfrac{\partial{u}}{\partial{v}} \dfrac{\partial{v}}{\partial{x}}

zy=zuuy+uvvy\dfrac{\partial{z}}{\partial{y}} = \dfrac{\partial{z}}{\partial{u}} \dfrac{\partial{u}}{\partial{y}} + \dfrac{\partial{u}}{\partial{v}} \dfrac{\partial{v}}{\partial{y}}

  • I(x)=u(x)v(x)f(t)dtI(x) = \displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \mathrm{d}t,则 dIdx=f(v)vf(u)u\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = f(v) v' - f(u) u',当积分内不单为关于 tt 的函数时,需要代换变量,注意该式和 费曼积分法 中式子的不同

二元函数极限

若有 lim(x,y)(x0,y0)F(x,y)G(x,y)=a\displaystyle\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} \dfrac{F(x, y)}{G(x, y)} = a,则可以转写为在 (x0,y0)(x_0, y_0) 的某个领域内 F(x,y)=aG(x,y)F(x, y) = aG(x, y)

错误使用例:

f(x,y)f(x, y) 在点 (0,0)(0, 0) 的某去心领域内连续,且满足 limx0,y0f(x,y)f(0,0)x2+1xsiny=3\displaystyle\lim_{x \to 0, y \to 0} \dfrac{f(x, y) - f(0, 0)}{x^2 + 1 - x\sin{y}} = -3,则函数 f(x,y)f(x, y) 在点 (0,0)(0, 0) 处 ____

这题若转写了,那么 f(x,y)=3(x2+1xsiny)+f(0,0)f(x, y) = -3(x^2 + 1 - x\sin{y}) + f(0, 0),以此推导会得出非极值点的结论,但我们假定的这个函数是有问题的,代入 (0,0)(0, 0) 会发现 f(0,0)f(0, 0) 无解,即不存在那样的连续的、二阶可导的函数满足题意,实际上题目也提醒了去心,而我们这个心是有问题的,所以不能转写

这种题还是利用定义做好些

二元函数连续、偏导存在、偏导连续、可微的判定和关系

二元函数连续的判定

lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\displaystyle\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0),则称 f(x,y)f(x, y)(x0,y0)(x_0, y_0) 处连续

可令 x=ρcosθ,y=ρsinθx = \rho\cos{\theta}, y = \rho\sin{\theta} 进行代换,若极限结果与 θ\theta 相关不等于 f(x0,y0)f(x_0, y_0),则不连续

二元函数偏导存在的判定

  • limxx0f(x,y0)f(x0,y0)xx0\displaystyle\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x, y_0) - f(x_0, y_0)}{x - x_0} 存在,则称 f(x,y)f(x, y)(x0,y0)(x_0, y_0) 关于 xx 的偏导存在,记作 fx(x0,y0)f'_x(x_0, y_0)

  • limyy0f(x0,y)f(x0,y0)yy0\displaystyle\lim_{y \to y_0} \dfrac{f(x_0, y) - f(x_0, y_0)}{y - y_0} 存在,则称 f(x,y)f(x, y)(x0,y0)(x_0, y_0) 关于 yy 的偏导存在,记作 fy(x0,y0)f'_y(x_0, y_0)

二元函数偏导连续的判定

  • lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)x=fx(x0,y0)\displaystyle\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} \dfrac{\partial{f(x, y)}}{\partial{x}} = f'_x(x_0, y_0),则称 f(x,y)f(x, y)(x0,y0)(x_0, y_0) 关于 xx 的偏导连续

  • lim(x,y)(x0,y0)f(x,y)y=fy(x0,y0)\displaystyle\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} \dfrac{\partial{f(x, y)}}{\partial{y}} = f'_y(x_0, y_0),则称 f(x,y)f(x, y)(x0,y0)(x_0, y_0) 关于 yy 的偏导连续

二元函数可微的判定

先判定 fx(x0,y0)f'_x(x_0, y_0)fy(x0,y0)f'_y(x_0, y_0) 是否都存在,存在则进行下一步,否则不可微

考查极限

lim(Δx,Δy)(0,0)f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0)fx(x0,y0)Δxfy(x0,y0)ΔyΔx2+Δy2\lim_{(\Delta{x}, \Delta{y}) \to (0, 0)} \dfrac{f(x_0 + \Delta{x}, y_0 + \Delta{y}) - f(x_0, y_0) - f'_x(x_0, y_0) \Delta{x} - f'_y(x_0, y_0) \Delta{y}}{\sqrt{\Delta{x}^2 + \Delta{y}^2}}

是否为零,是则称 f(x,y)f'(x, y)(x0,y0)(x_0, y_0) 可微,否则不可微

二元函数连续、偏导存在、偏导连续、可微的关系

二元函数两个偏导都在(x0,y0)连续    f(x,y)(x0,y0)可微    f(x,y)(x0,y0)连续二元函数两个偏导都存在\begin{align*} 二元函数两个偏导都在 (x_0, y_0) 连续 \implies& f(x, y) 在 (x_0, y_0) 可微 \implies f(x, y) 在 (x_0, y_0) 连续\\ &\Downarrow\\ &二元函数两个偏导都存在 \end{align*}

没标注的箭头表示无法推出

多元函数极值点的判定

z=F(x,y)z = F(x, y)(x0,y0)(x_0, y_0) 有连续的二阶偏导数,且 fx=0,fy=0f'_x = 0, f'y = 0,记 fxx=A,fxy=B,fyy=Cf''_{xx} = A, f''_{xy} = B, f''_{yy} = C,则

  • ACB2>0AC - B^2 > 0,且 A>0A > 0 时取极小值,A<0A < 0 时取极大值
  • ACB2<0AC - B^2 < 0,不是极值点
  • ACB2=0AC - B^2 = 0,不能确定,用定义讨论

多元函数积分

轮换对称性

DR2D \subset \R^2(x,y)D\forall{(x, y) \in D} 都有 (y,x)D(y, x) \in D,则 DD 具有轮换对称性

例:求 I=D(x2a2+y2b2)dxdyI = \displaystyle\iint_{D} (\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}) \mathrm{d}x\mathrm{d}yD={(x,y)x2+y2R2}D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le R^2\}

因为 DD 满足轮换对称性,故 I=D(y2a2+x2b2)dxdyI = \displaystyle\iint_{D} (\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y

2I=(1a2+1b2)D(x2+y2)dxdy2I = (\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2}) \displaystyle\iint_{D} (x^2 + y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y,下略

雅可比矩阵

在进行二元函数积分时我们想进行换元,但 dxdy\mathrm{d}x\mathrm{d}y 该换成什么呢?

我们来探讨一下令 x=x(u,v)x = x(u, v)y=y(u,v)y = y(u, v) 到底是什么意思——是这样的一个函数 FF 作用于向 [uv]\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix} 后输出 [x(u,v)y(u,v)]\begin{bmatrix}x(u, v)\\y(u, v)\end{bmatrix}

我们考虑极小区域上输入的微小变动与输出的微小变动,其可视作线性变换,记 J=[k1k3k2k4]J = \begin{bmatrix}k_1 & k_3 \\ k_2 & k_4\end{bmatrix},我们来推导该值

对于 [du0]\begin{bmatrix}\mathrm{d}u \\ 0\end{bmatrix},有 J[du0]=[k1duk2du]J \begin{bmatrix}\mathrm{d}u \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}k_1\mathrm{d}u \\ k_2\mathrm{d}u\end{bmatrix}

而这又对应参数方程的极小方向向量,故

k1du=xudu    k1=xuk_1 \mathrm{d}u = \dfrac{\partial{x}}{\partial{u}} \cdot \mathrm{d}u \implies k_1 = \dfrac{\partial{x}}{\partial{u}}

k2du=yudu    k2=yuk_2 \mathrm{d}u = \dfrac{\partial{y}}{\partial{u}} \cdot \mathrm{d}u \implies k_2 = \dfrac{\partial{y}}{\partial{u}}

同理 k3=xvk_3 = \dfrac{\partial{x}}{\partial{v}}k4=yvk_4 = \dfrac{\partial{y}}{\partial{v}}

J=[xuxvyuyv]J = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial{x}}{\partial{u}} & \dfrac{\partial{x}}{\partial{v}} \\ \dfrac{\partial{y}}{\partial{u}} & \dfrac{\partial{y}}{\partial{v}}\end{bmatrix}

又有面积微元比例 absdetJdudv=dxdy\mathrm{abs}\det{J} \cdot \mathrm{d}u\mathrm{d}v = \mathrm{d}x\mathrm{d}y

详情可见 3Blue1Brown 《雅可比矩阵下:所谓的雅可比行列式》

且由此可见平面直角坐标转极坐标时 absdetJ\mathrm{abs} \det{J} 就等于 ρ\rho

这对多元函数也是成立的,如三维直角坐标转极坐标时 absdetJ=ρsinφ\mathrm{abs} \det{J} = \rho\sin{\varphi}

曲线积分与曲面积分

该节内容不严谨,很多讨论都只限于二维、三维情况

部分参照 此链接

更多相关视频:

中英双语 可视化讲解格林定理

散度与旋度:麦克斯韦方程组、流体等所用到的语言

nabla 算子 与梯度、散度、旋度

第一类曲线积分

第一类曲线积分与积分方向无关,这适用于标量场

例线密度 ρ(x,y)\rho(x, y),则线质量 M=Lρ(x,y)dsM = \displaystyle\int_{L} \rho(x, y) \mathrm{d}s

而第一类曲线积分的解法也通常是找到这样一个变量 tt,使得 x=x(t),y=y(t)x = x(t), y = y(t) 且保向

从而 dx=x(t)dt,dy=y(t)dt    ds=dx2+dy2=x2+y2dt\mathrm{d}x = x'(t) \mathrm{d}t, \mathrm{d}y = y'(t) \mathrm{d}t \implies \mathrm{d}s = \sqrt{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2} = \sqrt{x'^2 + y'^2} \mathrm{d}t

对于更高维的可以类比推理

实际上,第一类曲线积分也可以换元,详见 此链接,但这疑似记不住故仅供了解,但极坐标代换还是要记的,曲线微元 ds=ρ2+ρ2dθ\mathrm{d}s = \sqrt{\rho^2 + \rho'^2} \mathrm{d}\theta

第二类曲线积分

第二类曲线积分与积分方向有关,这适用于矢量场

例力场 F(x,y)=[Fx(x,y)Fy(x,y)]\vec{F}(x, y) = \begin{bmatrix}F_x(x, y) \\ F_y(x, y)\end{bmatrix},则做功

WL=LFds=LFxdx+FydyW_{\vec{L}} = \displaystyle\int_{\vec{L}} \vec{F}\mathrm{d}\vec{s} = \displaystyle\int_{\vec{L}} F_x\mathrm{d}x + F_y\mathrm{d}y

且显然有 WL=WLW_{\vec{L}} = -W_{-\vec{L}}

类似于第一类曲线积分,可以使用参数方程求解

对于封闭曲线,见下小节;对于非封闭曲线,补全曲线为封闭曲线,并对补线使用参数方程法

Nabla 算子、环量、旋度、格林公式与斯托克斯公式

LL 为闭合曲线时,该曲线积分即 F\vec{F} 沿着曲线 LL 的环量

利用 WL=WLW_{\vec{L}} = -W_{-\vec{L}},我们可以将环所包面域分割为无穷多小面域 dS\mathrm{d}\vec{S}

DFds=D×FdS\displaystyle\oint_{\partial{D}}\vec{F}\mathrm{d}\vec{s} = \displaystyle\iint_{D} \vec{\nabla} \times \vec{F} \mathrm{d}\vec{S}

这里 DDD\partial{D} 的定义略,这里的 \vec{\nabla} 称作 Nabla 算子,也称哈密顿算子

=[x1xn]\vec{\nabla} = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial}{\partial{x_1}} \\ \cdots \\ \dfrac{\partial}{\partial{x_n}}\end{bmatrix}

要提醒的一点是 ×F\vec{\nabla} \times \vec{F} 不完全是叉乘,而是表示求旋度的意思,即 rotF\mathrm{rot} \vec{F},其反应了某点角动量的大小

不同于梯度和散度,旋度不能简单的推广到其他维度,但是只有在三维中其结果为向量

对于二元函数来说,该式子即格林公式

DFds=D×Fdxdy=Ddet[xyFxFy]dxdy\displaystyle\oint_{\partial{D}}\vec{F}\mathrm{d}\vec{s} = \displaystyle\iint_{D} \vec{\nabla} \times \vec{F} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \displaystyle\iint_{D} \det{\begin{bmatrix} \dfrac{\partial}{\partial{x}} & \dfrac{\partial}{\partial{y}} \\ F_x & F_y \end{bmatrix}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y

对于三元函数来说,该式子即斯托克斯公式

DFds=D×F[dydzdzdxdxdy]\displaystyle\oint_{\partial{D}}\vec{F}\mathrm{d}\vec{s} = \displaystyle\iint_{D} \vec{\nabla} \times \vec{F} \cdot \begin{bmatrix}\mathrm{d}y\mathrm{d}z \\ \mathrm{d}z\mathrm{d}x \\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{bmatrix}

线积分路径无关的判定

无旋场,即 rotF0\mathrm{rot} \vec{F} \equiv \vec{0} 就有路径无关——因为角动量抵消,所以在线上的积分恒为 00

第一类曲面积分

第一类曲面积分与积分方向无关,这适用于标量场

例面密度 ρ(x,y,z)\rho(x, y, z),则面质量 M=Σρ(x,y,z)dSM = \displaystyle\iint_{\varSigma} \rho(x, y, z) \mathrm{d}S

一般来说,该面 Σ\varSigma 会以 z=z(x,y)z = z(x, y) 的形式给出,从而有 dS=1+(dzdx)2+(dzdy)2dxdy\mathrm{d}S = \sqrt{1 + (\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x})^2 + (\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y})^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y

其推导如下:

在曲面 z=z(x,y)z = z(x, y) 取点 (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0)

其在 xx 方向上有极小变动 dx\mathrm{d}x,则变动向量 v1=(1,0,zx)dx\vec{v_1} = (1, 0, \dfrac{\partial{z}}{\partial{x}}) \mathrm{d}x

同理 yy 方向有 v2=(1,0,zy)dy\vec{v_2} = (1, 0, \dfrac{\partial{z}}{\partial{y}}) \mathrm{d}y

可得面积微元即两个向量的叉积的大小,即:

dS=v1×v2\mathrm{d}S = |\vec{v_1} \times \vec{v_2}|

对于其他情况也一样

这里再多提一个技巧,即若被积函数 ρ(x,y,z)=F(x,y)z\rho(x, y, z) = F(x, y) \cdot zzdzdxz\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}zdzdyz\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y} 又好算的情况,则有

M=ΣF(x,y)zdS=DF(x,y)z2+(zdzdx)2+(zdzdy)2dxdyM = \iint_{\varSigma} F(x,y) z\mathrm{d}S = \iint_{D} F(x, y) \sqrt{z^2 + (z\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x})^2 + (z\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y})^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y

这在球面、锥面上极其好用

第一类曲面积分的参数方程法

推导来自 此链接此链接

被积曲面为 F(x,y,z)=0F(x, y, z) = 0,令 x=x(u,v)x = x(u, v)y=y(u,v)y = y(u, v)z=z(u,v)z = z(u, v) 满足该式且 保定向——你可能会想这怎么可能,其实代换到生活中经纬度和地球上某点的映射就理解了

其在 uu 方向上有极小变动 du\mathrm{d}u,则变动向量 v1=(xu,yu,zu)du\vec{v_1} = (\dfrac{\partial{x}}{\partial{u}}, \dfrac{\partial{y}}{\partial{u}}, \dfrac{\partial{z}}{\partial{u}}) \mathrm{d}u

同理 vv 方向有 v2=(xv,yv,zv)dv\vec{v_2} = (\dfrac{\partial{x}}{\partial{v}}, \dfrac{\partial{y}}{\partial{v}}, \dfrac{\partial{z}}{\partial{v}}) \mathrm{d}v

可得面积微元即两个向量的叉积的大小,即:

dS=v1×v2=((y,z)(u,v),(z,x)(u,v),(x,y)(u,v))dudv\mathrm{d}S = |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = |(\dfrac{\partial{(y, z)}}{\partial{(u, v)}}, \dfrac{\partial{(z, x)}}{\partial{(u, v)}}, \dfrac{\partial{(x, y)}}{\partial{(u, v)}}) \mathrm{d}u\mathrm{d}v|