函数、导数、积分

基本知识

多阶导数的记法

f(x)f(x),记 f(x)f'(x) 为一阶导,f(x)f''(x) 为二阶导,f(x)f'''(x) 为三阶导,任意阶导都可为 f(n)(x)f^{(n)}(x)

极值点判别法则

对函数 f(x)f(x)x=x0x = x_0 处若存在 nNn \in \N^* 使得

f(x0)=f(x0)==f(n1)(x0)=0f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n - 1)}(x_0) = 0f(n)(x0)>0f^{(n)}(x_0) > 0,则当 nn 为偶数时,x0x_0 为极小值点

f(x0)=f(x0)==f(n1)(x0)=0f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n - 1)}(x_0) = 0f(n)(x0)<0f^{(n)}(x_0) < 0,则当 nn 为偶数时,x0x_0 为极大值点

nn 为奇数时 x0x_0 既不是极大值点,也不是极小值点

一般取 n=2n = 2,即一般来说

f(x0)=0f'(x_0) = 0f(x0)>0f''(x_0) > 0 即有 x0x_0 为极小值点

f(x0)=0f'(x_0) = 0f(x0)<0f''(x_0) < 0 即有 x0x_0 为极大值点

注意 18 年全国三卷导数题(2)问

琴生不等式

xDf(x)0x1,x2Df(x1)+f(x2)2f(x1+x22)\forall x \in D,f''(x) \ge0 \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in D,\dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2} \ge f(\dfrac{x_1 + x_2}{2})

xDf(x)0x1,x2Df(x1)+f(x2)2f(x1+x22)\forall x \in D,f''(x) \le0 \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in D,\dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2} \le f(\dfrac{x_1 + x_2}{2})

这在图像上显然成立,证明略

ALG 不等式

x1,x2Rx1+x22>x1x2lnx1lnx2>x1x2\forall x_1, x_2 \in \R^* \Rightarrow \dfrac{x_1 + x_2}{2} > \dfrac{x_1 - x_2}{\ln{x_1} - \ln{x_2}} > \sqrt{x_1x_2}

一个不等式

(1) 若 f(x)>0f'''(x) > 0f(x)f(x) 有两零点 x1,x2x_1, x_2,则 f(x1+x22)<0f'(\dfrac{x_1 + x_2}{2}) < 0

(2) 若 f(x)<0f'''(x) < 0f(x)f(x) 有两零点 x1,x2x_1, x_2,则 f(x1+x22)>0f'(\dfrac{x_1 + x_2}{2}) > 0

现使用虚设函数法证明式 (1)

g(x)=f(x)f(ax)g(x) = f(x) - f(a - x),其中 a=x1+x2a = x_1 + x_2,且令 x1<a2<x2x_1 < \dfrac{a}{2} < x_2

g(x)=f(x)+f(ax)g'(x) = f'(x) + f'(a - x)

g(x)=f(x)f(ax)g''(x) = f''(x) - f''(a - x)

g(x)=f(x)+f(ax)>0g'''(x) = f'''(x) + f'''(a - x) > 0

g(a2)=0g''(\dfrac{a}{2}) = 0g(x)g(a2)=2f(a2)g'(x) \ge g'(\dfrac{a}{2}) = 2f'(\dfrac{a}{2})

假设 f(a2)0f'(\dfrac{a}{2}) \ge 0,则 g(x)0g'(x) \ge 0g(x)g(x) 单调递增

g(a2)=0f(x1)<f(x2)g(\dfrac{a}{2}) = 0 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)f(x1)=f(x2)=0f(x_1) = f(x_2) = 0 的题设相悖

f(a2)<0f'(\dfrac{a}{2}) < 0,即 f(x1+x22)<0f'(\dfrac{x_1 + x_2}{2}) < 0

利用隐函数求导求曲线上一点切线斜率

F(x,y)=x2+2x+y2=0F(x,y) = x^2 + 2x + y^2 = 0

则上一点 (x,y)(x,y) 切线斜率

k=dydx=FxFy=2x+22y=x+1yk = \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}} = -\dfrac{2x + 2}{2y}= -\dfrac{x + 1}{y}

其中 Fx\dfrac{\partial F}{\partial x} 表示对 FFxx 的偏导,即将除了 xx 的其他变量视为未知常数进行求导

同理 Fy\dfrac{\partial F}{\partial y} 表示对 FFyy 的偏导

利用隐函数求导求约束条件下的函数最值

已知约束条件 F(x,y)=0F(x,y) = 0,求 G(x,y)G(x,y)最值

例:F(x,y)=x2+y2+xy4=0F(x,y) = x^2 + y^2 + xy - 4 = 0,求 G(x,y)=x2+y2G(x,y) = x^2 + y^2 最值

解:令 FxFy=GxGy-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}} = -\dfrac{\dfrac{\partial G}{\partial x}}{\dfrac{\partial G}{\partial y}}

化简得 y=±xy = \pm x

F(x,y)=0F(x,y) = 0 联立解得 (±23,±23),(±2,2)(\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}, \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}), (\pm2, \mp2)

可得代入得 G(x,y)G(x,y) 最大值为 88,最小值为 83\dfrac{8}{3}

不完全严谨,但确实很多时候有用。

圆锥曲线上一点切线方程

方程 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 的切线方程
(xa)2+(yb)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 (xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2(x - a)(x_0 - a) + (y - b)(y_0 - b) = R^2
x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 xx0a2+yy0b2=1\dfrac{xx_0}{a^2} + \dfrac{yy_0}{b^2} = 1
x2a2y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 xx0a2yy0b2=1\dfrac{xx_0}{a^2} - \dfrac{yy_0}{b^2} = 1
y2b2x2a2=1\dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{x^2}{a^2} = 1 yy0b2xx0a2=1\dfrac{yy_0}{b^2} - \dfrac{xx_0}{a^2} = 1
y2=2pxy^2 = 2px yy0=p(x+x0)yy_0 = p(x + x_0)
x2=2pyx^2 = 2py xx0=p(y+y0)xx_0 = p(y + y_0)

极值点偏移

例:f(x)=x(lnxx2+a1)f(x) = x(\ln{x} - \dfrac{x}{2} + a - 1) 有两极值点 x1,x2,x1<x2x_1, x_2, x_1 < x_2

  1. aa 范围
  2. 证明 2lnx1+lnx2<02 \ln{x_1} + \ln{x_2} < 0

(1) 解:由 f(x)=lnxx+af'(x) = \ln{x} - x + af(x)=1x1f''(x) = \dfrac{1}{x} - 1

f(x)max=f(1)=a1f'(x)_{max} = f'(1) = a - 1

由题 f(x)max>0f'(x)_{max} > 0,故 a(1,+)a \in (1, +\infty)

(2) 证:由 (1) 可得 0<x1<1<x20 < x_1 < 1 < x_2,所证原式即 x2<1x12x_2 < \dfrac{1}{x_1^2}

0<x1<10 < x_1 < 11x12>1\dfrac{1}{x_1^2} > 1

因为 1x12\dfrac{1}{x_1^2}x2x_2 都在 (1,+)(1, +\infty) 范围内

且 (1) 有 f(x)f'(x)(1,+)(1, +\infty) 上单调递减

则所证 x2<1x12x_2 < \dfrac{1}{x_1^2}f(1x12)<f(x2)=0f'(\dfrac{1}{x_1^2}) < f'(x_2) = 0

f(1x12)=ln1x121x12+af'(\dfrac{1}{x_1^2}) = \ln{\dfrac{1}{x_1^2}} - \dfrac{1}{x_1^2} + a

其中的 aa 又可由 f(x1)=lnx1x1+a=0f'(x_1) = \ln{x_1} - x_1 + a = 0 得到

则代入得 f(1x12)=ln1x121x12+x1lnx1f'(\dfrac{1}{x_1^2}) = \ln{\dfrac{1}{x_1^2}} - \dfrac{1}{x_1^2} + x_1 - \ln{x_1}

g(x)=ln1x21x2+xlnx=3lnx+x1x2,x(0,1)g(x) = \ln{\dfrac{1}{x^2}} - \dfrac{1}{x^2} + x - \ln{x} = -3 \ln{x} + x - \dfrac{1}{x^2}, x \in (0, 1)

则证明 g(x)<0g(x) < 0 即可

因为 g(x)=(x1)(x22x2)x3>0g'(x) = \dfrac{(x - 1)(x^2 - 2x - 2)}{x^3} > 0(0,1)(0, 1) 上成立

g(x)<g(1)=0g(x) < g(1) = 0,故题得证

数列

不动点的概念与性质

一般对函数 f(x)f(x),若 x0R\exist x_0 \in \R 使 f(x0)=x0f(x_0) = x_0,则称 x=x0x = x_0f(x)f(x) 的一阶不动点

同时有 f(f(x0))=x0f(f(x_0)) = x_0,易得一阶不动点也是二阶不动点

一般对数列 {xn}\{x_n\} 有递推式 xn+1=f(xn)x_{n+1} = f(x_n),若 x0R\exist x_0 \in \R 使 f(x0)=x0f(x_0) = x_0,则称 x=x0x = x_0{xn}\{x_n\} 的不动点

易得若从某项 xkx_k 为不动点则后数列恒定不变

要是数列 {xn}\{x_n\} 中的项取不到不动点 x0x_0,但足够接近,且后来的项越来越接近 x0x_0,即收敛为 x0x_0

值得注意的是不动点可能为复数,也可能不存在

不动点的稳定性

一阶线性递推数列

{xn}\{x_n\}xn+1=f(xn)=pxn+qx_{n+1} = f(x_n) = px_n + q,求 {xn}\{x_n\} 通项公式

  1. p=1p = 1 时为等差数列

  2. p1p \neq 1 时解方程 x0=f(x0)x_0 = f(x_0) 得不动点 x0=q1px_0 = \dfrac{q}{1 - p} 后,则 {xnx0}\{x_n - x_0\} 为等比数列

分式递推数列

xnx_nxn+1=f(xn)=axn+bcxn+dx_{n + 1} = f(x_n) = \dfrac{ax_n + b}{cx_n + d},求 {xn}\{x_n\} 通项公式

这里先解方程 x0=f(x0)x_0 = f(x_0)cx02+(da)x0b=0cx_0^2 + (d - a)x_0 - b = 0

  1. 当只有一解 x0x_0 时,{1xnx0}\{\dfrac{1}{x_n - x_0}\} 为等差数列

  2. 当有俩解 α,β\alpha, \beta 时(注意复数解也是两个),{xnαxnβ}\{\dfrac{x_n - \alpha}{x_n - \beta}\} 为等比数列

一般情形

一般情形下先考虑解方程 x0=f(x0)x_0 = f(x_0) 得到不动点 x0x_0

再在 xn+1=f(xn)x_{n + 1} = f(x_n) 两边同时减去 x0x_0

xn+1x0=f(xn)x0x_{n + 1} - x_0 = f(x_n) - x_0

进行代数变形后一般能得到等差数列或等比数列形式

不动点为零、复数或不存在时

为零时应当考虑倒数或增项后进行因式分解

为复数时数列必是周期数列

不存在时考虑其他方法

二阶线性递推数列

{xn}\{x_n\}xn+1=F(xn,xn1)=pxn+qxn1x_{n + 1} = F(x_n, x_{n - 1}) = px_n + qx_{n - 1},求 {xn}\{x_n\} 通项公式,已知 x1,x2x_1, x_2

a,b\exist a, b 使 xn+1axn=b(xnaxn1)x_{n + 1} - ax_n = b(x_n - ax_{n - 1})

a+b=p,ab=qa + b = p, ab = -q,即 a,ba, bx2pxq=0x^2 - px - q = 0 的解

解得 a,ba, b 后,代入原先的等比数列,解得

xn=x2bx1aban1+x2ax1babn1x_n = \dfrac{x_2 - bx_1}{a - b}a^{n - 1} + \dfrac{x_2 - ax_1}{b - a}b^{n - 1}

一个求和式

i=1nii!\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} i \cdot i!

注意到 (n+1)!=(n+1)n!=nn!+n!(n + 1)! = (n + 1) \cdot n! = n \cdot n! + n!

i=1nii!=i=1n[(i+1)!i!]=(n+1)!1\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} i \cdot i! = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} [(i + 1)! - i!] = (n + 1)! - 1

构造函数证明数列不等式

累加例

求证 i=1n1i+1<ln(1+n)\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \dfrac{1}{i + 1} < \ln{(1 + n)}

解:利用 an+1=Sn+1Sna_{n + 1} = S_{n + 1} - S_n 试将 ln(1+n)\ln{(1 + n)} 写成累加形式为 i=1nlni+1i\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \ln{\dfrac{i + 1}{i}}

则试证 1x+1<lnx+1x\dfrac{1}{x + 1} < \ln{\dfrac{x + 1}{x}}x1\forall x \ge 1 成立

f(x)=lnx+1x1x+1,(x1)f(x) = \ln{\dfrac{x + 1}{x}} - \dfrac{1}{x + 1}, (x \ge 1)

f(x)=1x(x+1)2<0f'(x) = -\dfrac{1}{x(x + 1)^2} < 0

f(x)>limx+f(x)=0f(x) > \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0

1x+1<lnx+1x\dfrac{1}{x + 1} < \ln{\dfrac{x + 1}{x}}x1\forall x \ge 1 得证

故题得证

累乘例

求证 2n(n+2)<i=2nlni\dfrac{2}{n(n + 2)} < \displaystyle\prod_{i = 2}^{n} \ln{i}

解:利用 an+1=Tn+1Tna_{n + 1} = \dfrac{T_{n + 1}}{T_n} 试将 2n(n+2)\dfrac{2}{n(n + 2)} 写成累乘形式为 i=2ni1i+1\displaystyle\prod_{i = 2}^{n} \dfrac{i - 1}{i + 1}

则试证 x1x+1<lnx\dfrac{x - 1}{x + 1} < \ln{x}x2\forall x \ge 2 成立

下略,得题得证

由例可得我们可以通过寻找累加(乘)式以试证累加(乘)对应各项的大小,通过取值并求导得证后回推即题得证,避免了对构造函数不知所措。

向量

基本知识

向量点乘 ab=abcosθ\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta},其中 θ\theta 为向量 a,b\vec{a}, \vec{b} 所夹角的大小,几何意义略

二维向量伪叉乘 a×b=absinθ|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta},其中 θ\theta 为向量 a,b\vec{a}, \vec{b} 所夹角的大小,几何意义为向量 a,b\vec{a}, \vec{b} 所夹平行四边形面积

两向量 a,b\vec{a}, \vec{b} 夹角为锐角的充要条件为 ab>0,a×b0\vec{a} \cdot \vec{b} > 0, |\vec{a} \times \vec{b}| \ne 0

两向量 a,b\vec{a}, \vec{b} 夹角为钝角的充要条件为 ab<0,a×b0\vec{a} \cdot \vec{b} < 0, |\vec{a} \times \vec{b}| \ne 0

叉乘

二维

叉乘应该主要是三维向量间的计算,我们先谈论其在二维中的应用

二维向量伪叉乘 a×b=absinθ|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}

a=[mn]=(m,n),b=[rs]=(r,s)\vec{a} = \begin{bmatrix}m \\ n \end{bmatrix} = (m, n), \vec{b} = \begin{bmatrix}r \\ s \end{bmatrix} = (r, s)

a×b=det([mrns])=mrns=msnr|\vec{a} \times \vec{b}| = |\det(\begin{bmatrix}m & r \\ n & s \end{bmatrix})| = |\begin{vmatrix}m & r \\ n & s \end{vmatrix}| = |ms - nr|

其中 det()\det() 用来求矩阵行列式,具体可看线性代数相关知识

通过上述介绍,我们可以很快求出两向量所夹平行四边形的面积

三维

三维向量叉乘 a×b\vec{a} \times \vec{b} 所输出的是一个新的向量 n\vec{n}

其中 n|\vec{n}| 等于向量 a,b\vec{a}, \vec{b} 所夹平行四边形面积,n\vec{n} 为该平行四边形的法向量

且方向可右手掌心朝面,收起无名指和小指,中指指向自己,此时 a\vec{a} 为食指,b\vec{b} 为中指,n\vec{n} 为大拇指

right hand

此处可注意到 a×b=b×a\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}

a=[a1a2a3]=(a1,a2,a3),b=[b1b2b3]=(b1,b2,b3)\vec{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = (a_1, a_2, a_3), \vec{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} = (b_1, b_2, b_3)

则我们列表 a1a2a3b1b2b3\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

a×b=(n1,n2,n3)\vec{a} \times \vec{b} = (n_1, n_2, n_3)

n1n_1 为挡住所列表第一列后的行列式 a2a3b2b3\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}

n2n_2 为挡住所列表第二列后的行列式 a1a3b1b3\textcolor{red}{-}\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix}

n3n_3 为挡住所列表第三列后的行列式 a1a2b1b2\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}

通过上述介绍,我们可以很快求出法向量

立体几何中的应用

求体积

对于共起点的三维向量 a,b,c\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} 有以该向量所围成的平行六面体的体积 V1=(a×b)cV_1 = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|

所围成的三棱锥的体积 V2=V16V_2 = \dfrac{V_1}{6}

求二面角

在求如 EABFE-AB-F 的二面角余弦值时,由于法向量求法不同而导致法向量夹角非二面角,要自主判断其正负,容易引发错误,现介绍一种方法避免错误:

EABFE-AB-F 二面角余弦

则平面 ABEABE 一个法向量 n1=AB×AE\vec{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AE}

平面 ABFABF 一个法向量 n2=AB×AF\vec{n_2} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AF}

dihedral angle

则由图易得 EABFE-AB-Fn1,n2\vec{n_1}, \vec{n_2} 的夹角

dihedral angle side

故可求得二面角余弦值

等和线、等差线、等积线、等商线、等平方和线

等和线

等差线

圆锥曲线

圆锥曲线与隐函数求导

圆锥曲线上一点切线方程——见利用隐函数求导求曲线上一点切线斜率

圆锥曲线外一点两切线切点连线(又称切点弦)形式同上

蒙日圆

椭圆两垂直切线交点轨迹为定圆 x2+y2=a2+b2x^2 + y^2 = a^2 + b^2

焦点三角形面积

x2a2+y2b2=1(a>b>0)\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)SPF1F2=b2tanP2S_{\triangle{PF_1F_2}} = b^2 \cdot \tan{\dfrac{P}{2}}

x2a2y2b2=1(a>b>0)\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)SPF1F2=b2cotP2S_{\triangle{PF_1F_2}} = b^2 \cdot \cot{\dfrac{P}{2}}

抛物线无两焦点,无焦点三角形

通径

x2a2+y2b2=1,(a>b>0)\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1, (a > b > 0) 有通径长 2b2a\dfrac{2b^2}{a}

x2a2y2b2=1,(a>b>0)\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1, (a > b > 0) 有通径长 2b2a\dfrac{2b^2}{a}

y2=2px,(p0)y^2 = 2px, (p \ne 0) 有通径长 2p|2p|

焦点弦

对离心率为 ee 的圆锥曲线,过焦点的弦 ABAB 与焦点所在轴交角若为 θ\thetaAF=λFB|AF| = \lambda|FB|

ecosθ=λ1λ+1|e \cdot \cos{\theta}| = |\dfrac{\lambda - 1}{\lambda + 1}|

结合三角函数和斜率 kk 可变形为其他形式

判别式

x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1Ax+By+C=0,(AB0)Ax + By + C = 0, (A \cdot B \ne 0)

  1. 相切 A2a2+B2b2=C2\Leftrightarrow A^2 a^2 + B^2 b^2 = C^2
  2. 相交 A2a2+B2b2>C2\Leftrightarrow A^2 a^2 + B^2 b^2 > C^2
  3. 相离 A2a2+B2b2<C2\Leftrightarrow A^2 a^2 + B^2 b^2 < C^2

x2a2y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1Ax+By+C=0,(AB0)Ax + By + C = 0, (A \cdot B \ne 0)

  1. 相切 A2a2B2b2=C2\Leftrightarrow A^2 a^2 - B^2 b^2 = C^2
  2. 相交 A2a2B2b2<C2\Leftrightarrow A^2 a^2 - B^2 b^2 < C^2
  3. 相离 A2a2B2b2>C2\Leftrightarrow A^2 a^2 - B^2 b^2 > C^2

费马定理与圆锥曲线的光学性质

费马定理:光从一点传至另一点的用时总是最短(均匀介质中表现为路程最短)

假定圆锥曲线都为镜面,则

  1. 从圆心发出的光反射后总回到圆心
  2. 从椭圆一焦点发出的光反射后到另一焦点
  3. 从抛物线焦点发出的光反射后总是垂直于其准线
  4. 从双曲线焦点发出的光反射后所在直线过另一焦点

可以利用以上性质求某些距离和(差)的最值

且利用初中知识作切线和法线有反射角等于入射角

一个性质

一动直线恒过圆锥曲线内一定点且交其于两点,则这两点切线交点在其外的某定直线上,反之也成立(与切点弦有相似之处)

x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1,若定点为 (x0,y0)(x_0, y_0),则定直线为 xx0a2+yy0b2=1\dfrac{x x_0}{a^2} + \dfrac{y y_0}{b^2} = 1

x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1,若定直线为 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0,则定点为 (Aa2C,Bb2C)(-\dfrac{A a^2}{C}, -\dfrac{B b^2}{C})

x2a2y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1,若定点为 (x0,y0)(x_0, y_0),则定直线为 xx0a2yy0b2=1\dfrac{x x_0}{a^2} - \dfrac{y y_0}{b^2} = 1

x2a2y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1,若定直线为 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0,则定点为 (Aa2C,Bb2C)(-\dfrac{A a^2}{C}, \dfrac{B b^2}{C})

y2=2pxy^2 = 2px,若定点为 (x0,y0)(x_0, y_0),则定直线为 yy0=p(x+x0)y y_0 = p(x + x_0)

y2=2pxy^2 = 2px,若定直线为 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0,则定点为 (CA,pBA)(\dfrac{C}{A}, -\dfrac{pB}{A})

共焦点的椭圆与双曲线