高中数学

函数、导数、积分

基本知识

多阶导数的记法

对 $f(x)$，记 $f'(x)$ 为一阶导，$f''(x)$ 为二阶导，$f'''(x)$ 为三阶导，任意阶导都可为 $f^{(n)}(x)$

极值点判别法则

对函数 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处若存在 $n \in \N^*$ 使得

$f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n - 1)}(x_0) = 0$，$f^{(n)}(x_0) > 0$，则当 $n$ 为偶数时，$x_0$ 为极小值点

$f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n - 1)}(x_0) = 0$，$f^{(n)}(x_0) < 0$，则当 $n$ 为偶数时，$x_0$ 为极大值点

当 $n$ 为奇数时 $x_0$ 既不是极大值点，也不是极小值点

一般取 $n = 2$，即一般来说

$f'(x_0) = 0$，$f''(x_0) > 0$ 即有 $x_0$ 为极小值点

$f'(x_0) = 0$，$f''(x_0) < 0$ 即有 $x_0$ 为极大值点

注意 18 年全国三卷导数题（2）问

琴生不等式

$\forall x \in D，f''(x) \ge0 \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in D，\dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2} \ge f(\dfrac{x_1 + x_2}{2})$

$\forall x \in D，f''(x) \le0 \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in D，\dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2} \le f(\dfrac{x_1 + x_2}{2})$

这在图像上显然成立，证明略

ALG 不等式

$\forall x_1, x_2 \in \R^* \Rightarrow \dfrac{x_1 + x_2}{2} > \dfrac{x_1 - x_2}{\ln{x_1} - \ln{x_2}} > \sqrt{x_1x_2}$

一个不等式

(1) 若 $f'''(x) > 0$ 且 $f(x)$ 有两零点 $x_1, x_2$，则 $f'(\dfrac{x_1 + x_2}{2}) < 0$

(2) 若 $f'''(x) < 0$ 且 $f(x)$ 有两零点 $x_1, x_2$，则 $f'(\dfrac{x_1 + x_2}{2}) > 0$

现使用虚设函数法证明式 (1)

记 $g(x) = f(x) - f(a - x)$，其中 $a = x_1 + x_2$，且令 $x_1 < \dfrac{a}{2} < x_2$

则 $g'(x) = f'(x) + f'(a - x)$

$g''(x) = f''(x) - f''(a - x)$

$g'''(x) = f'''(x) + f'''(a - x) > 0$

由 $g''(\dfrac{a}{2}) = 0$ 得 $g'(x) \ge g'(\dfrac{a}{2}) = 2f'(\dfrac{a}{2})$

假设 $f'(\dfrac{a}{2}) \ge 0$，则 $g'(x) \ge 0$，$g(x)$ 单调递增

但 $g(\dfrac{a}{2}) = 0 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ 与 $f(x_1) = f(x_2) = 0$ 的题设相悖

故 $f'(\dfrac{a}{2}) < 0$，即 $f'(\dfrac{x_1 + x_2}{2}) < 0$

利用隐函数求导求曲线上一点切线斜率

有 $F(x,y) = x^2 + 2x + y^2 = 0$

则上一点 $(x,y)$ 切线斜率

$k = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}} = -\dfrac{2x + 2}{2y}= -\dfrac{x + 1}{y}$

其中 $\dfrac{\partial F}{\partial x}$ 表示对 $F$ 求 $x$ 的偏导，即将除了 $x$ 的其他变量视为未知常数进行求导

同理 $\dfrac{\partial F}{\partial y}$ 表示对 $F$ 求 $y$ 的偏导

利用隐函数求导求约束条件下的函数最值

已知约束条件 $F(x,y) = 0$，求 $G(x,y)$最值

例：$F(x,y) = x^2 + y^2 + xy - 4 = 0$，求 $G(x,y) = x^2 + y^2$ 最值

解：令 $-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial y}} = -\dfrac{\dfrac{\partial G}{\partial x}}{\dfrac{\partial G}{\partial y}}$

化简得 $y = \pm x$

与 $F(x,y) = 0$ 联立解得 $(\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}, \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}), (\pm2, \mp2)$

可得代入得 $G(x,y)$ 最大值为 $8$，最小值为 $\dfrac{8}{3}$

不完全严谨，但确实很多时候有用。

圆锥曲线上一点切线方程

方程	过 $P(x_0, y_0)$ 的切线方程
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$	$(x - a)(x_0 - a) + (y - b)(y_0 - b) = R^2$
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$\dfrac{xx_0}{a^2} + \dfrac{yy_0}{b^2} = 1$
$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$\dfrac{xx_0}{a^2} - \dfrac{yy_0}{b^2} = 1$
$\dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{x^2}{a^2} = 1$	$\dfrac{yy_0}{b^2} - \dfrac{xx_0}{a^2} = 1$
$y^2 = 2px$	$yy_0 = p(x + x_0)$
$x^2 = 2py$	$xx_0 = p(y + y_0)$

极值点偏移

例：$f(x) = x(\ln{x} - \dfrac{x}{2} + a - 1)$ 有两极值点 $x_1, x_2, x_1 < x_2$

1. 求 $a$ 范围
2. 证明 $2 \ln{x_1} + \ln{x_2} < 0$

(1) 解：由 $f'(x) = \ln{x} - x + a$，$f''(x) = \dfrac{1}{x} - 1$ 得

$f'(x)_{max} = f'(1) = a - 1$

由题 $f'(x)_{max} > 0$，故 $a \in (1, +\infty)$

(2) 证：由 (1) 可得 $0 < x_1 < 1 < x_2$，所证原式即 $x_2 < \dfrac{1}{x_1^2}$

由 $0 < x_1 < 1$ 得 $\dfrac{1}{x_1^2} > 1$

因为 $\dfrac{1}{x_1^2}$ 和 $x_2$ 都在 $(1, +\infty)$ 范围内

且 (1) 有 $f'(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上单调递减

则所证 $x_2 < \dfrac{1}{x_1^2}$ 即 $f'(\dfrac{1}{x_1^2}) < f'(x_2) = 0$

而 $f'(\dfrac{1}{x_1^2}) = \ln{\dfrac{1}{x_1^2}} - \dfrac{1}{x_1^2} + a$

其中的 $a$ 又可由 $f'(x_1) = \ln{x_1} - x_1 + a = 0$ 得到

则代入得 $f'(\dfrac{1}{x_1^2}) = \ln{\dfrac{1}{x_1^2}} - \dfrac{1}{x_1^2} + x_1 - \ln{x_1}$

记 $g(x) = \ln{\dfrac{1}{x^2}} - \dfrac{1}{x^2} + x - \ln{x} = -3 \ln{x} + x - \dfrac{1}{x^2}, x \in (0, 1)$

则证明 $g(x) < 0$ 即可

因为 $g'(x) = \dfrac{(x - 1)(x^2 - 2x - 2)}{x^3} > 0$ 在 $(0, 1)$ 上成立

则 $g(x) < g(1) = 0$，故题得证

数列

不动点的概念与性质

一般对函数 $f(x)$，若 $\exist x_0 \in \R$ 使 $f(x_0) = x_0$，则称 $x = x_0$ 为 $f(x)$ 的一阶不动点

同时有 $f(f(x_0)) = x_0$，易得一阶不动点也是二阶不动点

一般对数列 $\{x_n\}$ 有递推式 $x_{n+1} = f(x_n)$，若 $\exist x_0 \in \R$ 使 $f(x_0) = x_0$，则称 $x = x_0$ 为 $\{x_n\}$ 的不动点

易得若从某项 $x_k$ 为不动点则后数列恒定不变

要是数列 $\{x_n\}$ 中的项取不到不动点 $x_0$，但足够接近，且后来的项越来越接近 $x_0$，即收敛为 $x_0$

值得注意的是不动点可能为复数，也可能不存在

不动点的稳定性

一阶线性递推数列

即 $\{x_n\}$ 有 $x_{n+1} = f(x_n) = px_n + q$，求 $\{x_n\}$ 通项公式

1. $p = 1$ 时为等差数列

2. $p \neq 1$ 时解方程 $x_0 = f(x_0)$ 得不动点 $x_0 = \dfrac{q}{1 - p}$ 后，则 $\{x_n - x_0\}$ 为等比数列

分式递推数列

即 $x_n$ 有 $x_{n + 1} = f(x_n) = \dfrac{ax_n + b}{cx_n + d}$，求 $\{x_n\}$ 通项公式

这里先解方程 $x_0 = f(x_0)$ 得 $cx_0^2 + (d - a)x_0 - b = 0$

1. 当只有一解 $x_0$ 时，$\{\dfrac{1}{x_n - x_0}\}$ 为等差数列

2. 当有俩解 $\alpha, \beta$ 时（注意复数解也是两个），$\{\dfrac{x_n - \alpha}{x_n - \beta}\}$ 为等比数列

一般情形

一般情形下先考虑解方程 $x_0 = f(x_0)$ 得到不动点 $x_0$

再在 $x_{n + 1} = f(x_n)$ 两边同时减去 $x_0$

即 $x_{n + 1} - x_0 = f(x_n) - x_0$

进行代数变形后一般能得到等差数列或等比数列形式

不动点为零、复数或不存在时

为零时应当考虑倒数或增项后进行因式分解

为复数时数列必是周期数列

不存在时考虑其他方法

二阶线性递推数列

即 $\{x_n\}$ 有 $x_{n + 1} = F(x_n, x_{n - 1}) = px_n + qx_{n - 1}$，求 $\{x_n\}$ 通项公式，已知 $x_1, x_2$

设 $\exist a, b$ 使 $x_{n + 1} - ax_n = b(x_n - ax_{n - 1})$

有 $a + b = p, ab = -q$，即 $a, b$ 为 $x^2 - px - q = 0$ 的解

解得 $a, b$ 后，代入原先的等比数列，解得

$x_n = \dfrac{x_2 - bx_1}{a - b}a^{n - 1} + \dfrac{x_2 - ax_1}{b - a}b^{n - 1}$

一个求和式

求 $\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} i \cdot i!$

注意到 $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n! = n \cdot n! + n!$

故 $\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} i \cdot i! = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} [(i + 1)! - i!] = (n + 1)! - 1$

构造函数证明数列不等式

累加例

求证 $\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \dfrac{1}{i + 1} < \ln{(1 + n)}$

解：利用 $a_{n + 1} = S_{n + 1} - S_n$ 试将 $\ln{(1 + n)}$ 写成累加形式为 $\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \ln{\dfrac{i + 1}{i}}$

则试证 $\dfrac{1}{x + 1} < \ln{\dfrac{x + 1}{x}}$ 对 $\forall x \ge 1$ 成立

记 $f(x) = \ln{\dfrac{x + 1}{x}} - \dfrac{1}{x + 1}, (x \ge 1)$

$f'(x) = -\dfrac{1}{x(x + 1)^2} < 0$

故 $f(x) > \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

即 $\dfrac{1}{x + 1} < \ln{\dfrac{x + 1}{x}}$ 对 $\forall x \ge 1$ 得证

故题得证

累乘例

求证 $\dfrac{2}{n(n + 2)} < \displaystyle\prod_{i = 2}^{n} \ln{i}$

解：利用 $a_{n + 1} = \dfrac{T_{n + 1}}{T_n}$ 试将 $\dfrac{2}{n(n + 2)}$ 写成累乘形式为 $\displaystyle\prod_{i = 2}^{n} \dfrac{i - 1}{i + 1}$

则试证 $\dfrac{x - 1}{x + 1} < \ln{x}$ 对 $\forall x \ge 2$ 成立

下略，得题得证

由例可得我们可以通过寻找累加（乘）式以试证累加（乘）对应各项的大小，通过取值并求导得证后回推即题得证，避免了对构造函数不知所措。

向量

基本知识

向量点乘 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$，其中 $\theta$ 为向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 所夹角的大小，几何意义略

二维向量伪叉乘 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}$，其中 $\theta$ 为向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 所夹角的大小，几何意义为向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 所夹平行四边形面积

两向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角为锐角的充要条件为 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0, |\vec{a} \times \vec{b}| \ne 0$

两向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角为钝角的充要条件为 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0, |\vec{a} \times \vec{b}| \ne 0$

叉乘

二维

叉乘应该主要是三维向量间的计算，我们先谈论其在二维中的应用

二维向量伪叉乘 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}$

若 $\vec{a} = \begin{bmatrix}m \\ n \end{bmatrix} = (m, n), \vec{b} = \begin{bmatrix}r \\ s \end{bmatrix} = (r, s)$

则 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\det(\begin{bmatrix}m & r \\ n & s \end{bmatrix})| = |\begin{vmatrix}m & r \\ n & s \end{vmatrix}| = |ms - nr|$

其中 $\det()$ 用来求矩阵行列式，具体可看线性代数相关知识

通过上述介绍，我们可以很快求出两向量所夹平行四边形的面积

三维

三维向量叉乘 $\vec{a} \times \vec{b}$ 所输出的是一个新的向量 $\vec{n}$

其中 $|\vec{n}|$ 等于向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 所夹平行四边形面积，$\vec{n}$ 为该平行四边形的法向量

且方向可右手掌心朝面，收起无名指和小指，中指指向自己，此时 $\vec{a}$ 为食指，$\vec{b}$ 为中指，$\vec{n}$ 为大拇指

此处可注意到 $\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$

若 $\vec{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = (a_1, a_2, a_3), \vec{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} = (b_1, b_2, b_3)$

则我们列表 $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$

则 $\vec{a} \times \vec{b} = (n_1, n_2, n_3)$ 中

$n_1$ 为挡住所列表第一列后的行列式 $\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}$

$n_2$ 为挡住所列表第二列后的行列式 $\textcolor{red}{-}\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix}$

$n_3$ 为挡住所列表第三列后的行列式 $\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}$

通过上述介绍，我们可以很快求出法向量

立体几何中的应用

求体积

对于共起点的三维向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 有以该向量所围成的平行六面体的体积 $V_1 = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

所围成的三棱锥的体积 $V_2 = \dfrac{V_1}{6}$

求二面角

在求如 $E-AB-F$ 的二面角余弦值时，由于法向量求法不同而导致法向量夹角非二面角，要自主判断其正负，容易引发错误，现介绍一种方法避免错误：

求 $E-AB-F$ 二面角余弦

则平面 $ABE$ 一个法向量 $\vec{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AE}$

平面 $ABF$ 一个法向量 $\vec{n_2} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AF}$

则由图易得 $E-AB-F$ 即 $\vec{n_1}, \vec{n_2}$ 的夹角

故可求得二面角余弦值

等和线、等差线、等积线、等商线、等平方和线

等和线

等差线

复数

复数四则运算的几何意义

加法和减法略，我们着重介绍乘法

例：$(2 + \mathrm{i}) \cdot \mathrm{i} = -1 + 2\mathrm{i}$

从复平面上看，$2 + \mathrm{i}$ 逆时针旋转了 $\dfrac{\pi}{2}$

再例：$(\sqrt{3} + \mathrm{i})(1 + \sqrt{3}\mathrm{i}) = 4\mathrm{i}$

从复平面上看，两者辐角相加，模长相乘

证明：对复平面上一复数 $z$ 记模长为 $l$，辐角为 $\theta$

则 $z = l \cos{\theta} + \mathrm{i} \cdot l \sin{\theta} = l(\cos{\theta} + \mathrm{i} \sin{\theta})$

设 $z_1$ 对应 $l_1, \theta_1$，$z_2$ 对应 $l_2, \theta_2$

则 $z_1z_2 = l_1(\cos{\theta_1} + \mathrm{i} \sin{\theta_1}) \cdot l_2(\cos{\theta_2} + \mathrm{i} \sin{\theta_2})= l_1l_2 [\cos{(\theta_1 + \theta_2)} + \mathrm{i} \sin{(\theta_1 + \theta_2)}]$

故得证

由上有复数相乘，模长相乘，辐角相加

同理有复数相除，模长相除，辐角相减

对于某些运算能缩短用时

复数的指数运算

推广 $n$ 个复数相乘，有下式成立

$$\prod_{k = 1}^{n} a_k + b_k \mathrm{i} = \prod_{k = 1}^{n} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} \cdot \left[\cos{\left(\sum_{k = 1}^{n} \arctan{\dfrac{b_k}{a_k}} \right)} + \mathrm{i} \sin{\left(\sum_{k = 1}^{n} \arctan{\dfrac{b_k}{a_k}} \right)} \right]$$

其中 $a_k, b_k \in \R, n \in \N^*$

特殊的 $a_k = a, b_k = b$ 时

$$(a + b\mathrm{i})^n = \left(\sqrt{a^2 + b^2} \right)^n \cdot \left[\cos{\left(n \arctan{\dfrac{b}{a}} \right)} + \mathrm{i} \sin{\left(n \arctan{\dfrac{b}{a}} \right)} \right]$$

更特殊的，$a = \cos{\theta}, b = \sin{\theta}$ 时

$$(\cos{\theta} + \mathrm{i} \sin{\theta})^n = \cos{n\theta} + \mathrm{i} \sin{n\theta}$$

由二项式定理有

$$(\cos{\theta} + \mathrm{i} \sin{\theta})^n = \sum_{k = 0}^{n} \mathrm{C}_n^k \cos^{n - k}{\theta} (\mathrm{i} \sin{\theta})^k$$

拆项对应实部虚部得 $n$ 倍角公式

$$\cos{n\theta} = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \mathrm{C}_{n}^{2k} (-1)^k \cos^{n - 2k}{\theta} \sin^{2k}{\theta}$$

$$\sin{n\theta} = \sum_{k = 0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \mathrm{C}_{n}^{2k + 1} (-1)^k \cos^{n - 2k - 1}{\theta} \sin^{2k + 1}{\theta}$$

其中 $\lfloor n / 2 \rfloor$ 表示向下取整

圆锥曲线

圆锥曲线与隐函数求导

圆锥曲线上一点切线方程——见利用隐函数求导求曲线上一点切线斜率

圆锥曲线外一点两切线切点连线（又称切点弦）形式同上

蒙日圆

椭圆两垂直切线交点轨迹为定圆 $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$

焦点三角形面积

对 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 有 $S_{\triangle{PF_1F_2}} = b^2 \cdot \tan{\dfrac{P}{2}}$

对 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 有 $S_{\triangle{PF_1F_2}} = b^2 \cdot \cot{\dfrac{P}{2}}$

抛物线无两焦点，无焦点三角形

通径

对 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1, (a > b > 0)$ 有通径长 $\dfrac{2b^2}{a}$

对 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1, (a > b > 0)$ 有通径长 $\dfrac{2b^2}{a}$

对 $y^2 = 2px, (p \ne 0)$ 有通径长 $|2p|$

焦点弦

对离心率为 $e$ 的圆锥曲线，过焦点的弦 $AB$ 与焦点所在轴交角若为 $\theta$，$|AF| = \lambda|FB|$

则 $|e \cdot \cos{\theta}| = |\dfrac{\lambda - 1}{\lambda + 1}|$

结合三角函数和斜率 $k$ 可变形为其他形式

判别式

对 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 与 $Ax + By + C = 0, (A \cdot B \ne 0)$

1. 相切 $\Leftrightarrow A^2 a^2 + B^2 b^2 = C^2$
2. 相交 $\Leftrightarrow A^2 a^2 + B^2 b^2 > C^2$
3. 相离 $\Leftrightarrow A^2 a^2 + B^2 b^2 < C^2$

对 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 与 $Ax + By + C = 0, (A \cdot B \ne 0)$

1. 相切 $\Leftrightarrow A^2 a^2 - B^2 b^2 = C^2$
2. 相交 $\Leftrightarrow A^2 a^2 - B^2 b^2 < C^2$
3. 相离 $\Leftrightarrow A^2 a^2 - B^2 b^2 > C^2$

费马定理与圆锥曲线的光学性质

费马定理：光从一点传至另一点的用时总是最短（均匀介质中表现为路程最短）

假定圆锥曲线都为镜面，则

1. 从圆心发出的光反射后总回到圆心
2. 从椭圆一焦点发出的光反射后到另一焦点
3. 从抛物线焦点发出的光反射后总是垂直于其准线
4. 从双曲线焦点发出的光反射后所在直线过另一焦点

可以利用以上性质求某些距离和（差）的最值

且利用初中知识作切线和法线有反射角等于入射角

一个性质

一动直线恒过圆锥曲线内一定点且交其于两点，则这两点切线交点在其外的某定直线上，反之也成立（与切点弦有相似之处）

对 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，若定点为 $(x_0, y_0)$，则定直线为 $\dfrac{x x_0}{a^2} + \dfrac{y y_0}{b^2} = 1$

对 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，若定直线为 $Ax + By + C = 0$，则定点为 $(-\dfrac{A a^2}{C}, -\dfrac{B b^2}{C})$

对 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，若定点为 $(x_0, y_0)$，则定直线为 $\dfrac{x x_0}{a^2} - \dfrac{y y_0}{b^2} = 1$

对 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，若定直线为 $Ax + By + C = 0$，则定点为 $(-\dfrac{A a^2}{C}, \dfrac{B b^2}{C})$

对 $y^2 = 2px$，若定点为 $(x_0, y_0)$，则定直线为 $y y_0 = p(x + x_0)$

对 $y^2 = 2px$，若定直线为 $Ax + By + C = 0$，则定点为 $(\dfrac{C}{A}, -\dfrac{pB}{A})$

共焦点的椭圆与双曲线