考研数学

请确保已经了解了 高中数学 相关知识

一元函数微分

一元函数极值点、拐点的判定

• 极值点：看 $x_0$ 左右两侧是否为局部最大（小）值；极值点是横坐标

• 拐点：看 $f^{\prime \prime }(x)$ 是否在 $x_0$ 左右两侧异号，该点本身可以不可导，且 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 时为凹函数，$f^{\prime \prime }(x)<0$ 时为凸函数；拐点是点

极值点判别法则

对函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处若存在 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 使得

• $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$，$f^{(n)}(x_0)>0$，则当 $n$ 为偶数时，$x_0$ 为极小值点

• $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$，$f^{(n)}(x_0)<0$，则当 $n$ 为偶数时，$x_0$ 为极大值点

当 $n$ 为奇数时 $x_0$ 既不是极大值点，也不是极小值点

一般取 $n=2$，即一般来说

• $f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)>0$ 即有 $x_0$ 为极小值点

• $f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)<0$ 即有 $x_0$ 为极大值点

利用泰勒展开求极限

展开公式见 泰勒级数 一节，这里使用例略，因为太简单了

斯特林公式

一元函数高阶求导

高阶求导转为等比数列求和

$f(x)=\frac{1}{x^2-x+1}$，求 $f^{(2022)}(0)$

由立方和公式 $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

得 $f(x)=\frac{1+x}{1+x^3}=\frac{1}{1+x^3}+x\frac{1}{1+x^3}$

而 $\frac{1}{1+x^3}=\sum _{k=0}^{\infty }(-x^3{)}^k,|x^3|<1$

故 $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{x}^{3k}+\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{x}^{3k+1},|x^3|<1$

故 $f^{(2022)}(0)$ 应该为 $x^{2022}$ 的系数乘以 $2022!$

可得系数为 $(-1{)}^{674}=1$，故答案为 $2022!$

除利用立方和公式外，还可利用立方差公式等

高阶求导转为泰勒展开式

$f(x)=x^2\ln (1+x)$，求 $f^{(n)}(0)$

因为 $\ln (1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{k+1}{x}^k}{k}$

故 $f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{k+1}{x}^{k+2}}{k}$

故 $f^{(n)}(0)$ 应为 $x^n$ 的系数乘以 $n!$

可得系数为 $\frac{(-1{)}^{n-1}}{n-2}$，故答案为 $\frac{(-1{)}^{n-1}}{n-2}n!$

一元函数极限

求 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ 时，要考查 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)$ 和 $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$

若 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=+\infty$，则 $\underset{x\to +\infty }{\lim }(1+f(x){)}^{g(x)}=\exp \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)g(x)$

当分子或分母为根式相加减时，可尝试分子或分母有理化

若有 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=a$，则可以转写为在 $x=x_0$ 的某个领域内 $f(x)=ag(x)$

对于 $\underset{n\to +\infty }{\lim }f(\frac{1}{n})$，不可使用 $x=\frac{1}{n}$ 的代换，必须保留 $\frac{1}{n}$ 的形式

对于 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty ,\underset{n\to +\infty }{\lim }{y}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }{z}_n=a$，有 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n[f(y_n)-f(z_n)]=\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n(y_n-z_n)f^{\prime }(\xi )$，其中 $\xi$ 在 $y_n,z_n$ 之间

极限四则运算存在性

• 若 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$，$\underset{x\to a}{\lim }g(x)$ 不存在，则 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)+g(x)$ 不存在；当 $A\ne 0$ 时，又有 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)g(x)$ 不存在，$A=0$ 时不确定

• 若 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ 和 $\underset{x\to a}{\lim }g(x)$ 均不存在，则 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)+g(x)$ 和 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)g(x)$ 均不确定

一元函数连续、可导、可微的判定和关系

一元函数连续的判定

• 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续

• 若 $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左连续，右连续略

一元函数可导的判定

• 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导

• 若 $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左可导，右可导略

一元函数可微的判定

• 若 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$，则称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可微，且微分 $\mathrm{d}y=A\Delta x=A\mathrm{d}x$

一元函数连续、可导、可微的关系

没标注的箭头表示无法推出

导数极限和导数的关系

$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ 存在，无法判断 $f(x)$ 是否在 $x=x_0$ 处连续

• 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=A$，且 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，则 $f^{\prime }(x_0)=A$，否则不存在

• 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\infty$，则 $f^{\prime }(x_0)$ 不存在

• 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ 不存在且不为 $\infty$，则需要利用 一元函数可导的判定 小节中的判断

间断点

第一类间断点

• 可去间断点：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，但其于 $f(x_0)$ 不相等或 $f(x_0)$ 无定义

• 跳跃间断点：$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$ 与 $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$ 存在但不相等

第二类间断点

$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$ 与 $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$ 任一不存在

曲率和曲率半径

曲率半径的推导

若 $x=x(t),y=y(t)$，令 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ 是其在点 $(x,y)$ 的曲率圆

对曲率圆求关于 $t$ 的偏导、二次偏导：

解得

故 $R^2=\frac{(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}{)}^3}{(x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-x^{\prime \prime }{y}^{\prime }{)}^2}$

一般题目会让你求单点的曲率，可以直接代入解上面的方程组

渐近线

先看间断点：左右极限任一为无穷 $⟹$ 铅直渐近线

再看水平或斜渐近线 $y=ax+b$，同样要考查 $x\to +\infty$ 和 $x\to -\infty$ 两个方向

一元函数积分

不定积分

原函数存在定理

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则在 $[a,b]$ 上存在原函数

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有跳跃间断点，则在 $[a,b]$ 上一定不存在原函数

$f(x)$ 不连续时，原函数存在性与定积分存在性可以各不相干

由原函数定义，$F^{\prime }(x)=f(x)$，故 $F(x)$ 连续

好用的式子

• $\int e^{ax}\cos bx\mathrm{d}x=e^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}+C$

• $\int e^{ax}\sin bx\mathrm{d}x=e^{ax}\frac{a\sin bx-b\cos bx}{a^2+b^2}+C$

当 $P(x)$ 为多项式时以下三个式子非常好用

• $\int P(x)e^{ax}\mathrm{d}x=e^{ax}(\frac{P}{a}-\frac{P^{\prime }}{a^2}+\frac{P^{\prime \prime }}{a^3}-\cdots )+C$

• $\int P(x)\cos ax\mathrm{d}x=\cos ax(\frac{P^{\prime }}{a^2}-\frac{P^{\prime \prime \prime }}{a^4}+\cdots )+\sin ax(\frac{P}{a}-\frac{P^{\prime \prime }}{a^3}+\cdots )+C$

• $\int P(x)\sin ax\mathrm{d}x=\sin ax(\frac{P^{\prime }}{a^2}-\frac{P^{\prime \prime \prime }}{a^4}+\cdots )-\cos ax(\frac{P}{a}-\frac{P^{\prime \prime }}{a^3}+\cdots )+C$

如何快速拆开分式多项式

例：对 $f(x)=\frac{7x-2}{(2x-1)(x+1)}=\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{x+1}$

在式子两边同时乘以 $2x-1$ 得 $\frac{7x-2}{x+1}=A+\frac{2x-1}{x+1}B$，令 $x=\frac{1}{2}$ 得 $A=1$

在式子两边同时乘以 $x+1$ 得 $\frac{7x-2}{2x-1}=\frac{x+1}{2x-1}A+B$，令 $x=-1$ 得 $B=3$

欧拉公式在积分中的应用

令 $y=e^{\mathrm{i}x}$，则

• $2\mathrm{i}\sin x=y-\frac{1}{y},2\cos x=y+\frac{1}{y}$

• $2\mathrm{i}\sin kx=y^k-\frac{1}{y^k},2\cos kx=y^k+\frac{1}{y^k},k\in \mathbb{N}$

使用例：

求 $I=\int {\cos }^{4}x\mathrm{d}x$

因为 $(2\cos x{)}^4=(y+\frac{1}{y}{)}^4=y^4+\frac{1}{y^4}+4(y^2+\frac{1}{y^2})+6=2\cos 4x+8\cos 2x+6$

故 ${\cos }^{4}x=\frac{\cos 4x}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{3}{8}$

故得 $I=\frac{\sin 4x}{32}+\frac{\sin 2x}{4}+\frac{3x}{8}+C$

对不出现奇数次幂的正弦函数的积分都好用，如果出现了，则一般按 $\sin x\mathrm{d}x=-\mathrm{d}\cos x$ 处理

费曼积分法

若 $f(x,t)$ 在 $R[x\in [a,A],t\in [b,B]]$ 内有定义且连续，且 $\frac{\partial f}{\partial t}$ 在 $R$ 内连续，则有

更一般情况下，当下限为 $u(t)$ 上限为 $v(t)$ 且 $t\in (b,B)$ 时 $u(t)\in [a,A],v(t)\in [a,A]$，则有

例：求 $I=\int \frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2{)}^2}$

构造 $f(x,t)=\int \frac{\mathrm{d}x}{t^2+x^2}$，则 $\frac{\partial f}{\partial t}=\int \frac{-2t\mathrm{d}x}{(t^2+x^2{)}^2}$

有 $[\frac{\partial f}{\partial t}{]}_{t\to 1}=-2I$

故

更多信息见 此链接

定积分

反常积分敛散性的判定

反常积分有以下两种可能：

• 无穷限的反常积分 —— 积分上下限任一为无穷：${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$、${\int }_{-\infty }^{b}f(x)\mathrm{d}x$、${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$
• 无界函数的反常积分 —— 积分区间内某点（瑕点）函数值为无穷：${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 且 $\exists x_0\in [a,b]$ 使 $f(x_0)=\infty$

当然这两种可能可以同时成立，接下来给出判定方法：

首先对无穷限判定，记 $\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{p}f(x)\mathrm{d}x=A$

• 若存在 $p>1$ 使 $A$ 存在则收敛
• 若存在 $p⩽1$ 使 $A$ 为无穷或非零数则发散

不是说上面就完事了，还有其他地方需要判定

再判定瑕点，记 $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }(x-x_0{)}^{p}f(x)=A$

• 若存在 $p<1$ 使 $A$ 存在则收敛
• 若存在 $p⩾1$ 使 $A$ 为无穷或非零数则发散

当然你还得判定 $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }(x_0-x{)}^{p}f(x)=A$

只有当各处均收敛时才能判定为收敛

奇偶函数反常积分的敛散性

• 若 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则

• 若 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 即 $\underset{A\to +\infty ,B\to -\infty }{\lim }{\int }_B^{A}f(x)\mathrm{d}x$ 存在，则 $\underset{R\to +\infty }{\lim }{\int }_{-R}^{R}f(x)$ 存在；后者无法推出前者

反常积分和的敛散性

三角函数的积分特性

以下性质均由区间重现推出

• ${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)\mathrm{d}x$

• ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)\mathrm{d}x$

Wallis 公式

周期函数的积分特性

• 若 $f(x)$ 为周期为 $T$ 的连续函数，则 ${\int }_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x={\int }_b^{b+T}f(x)\mathrm{d}x$

一元函数积分转多元函数积分

• 对 $\rho =\rho (\theta )$ 有 $S=\frac{1}{2}{\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}{\rho }^2\mathrm{d}\theta$，故求 $I={\int }_a^b{f}^2(\sin \theta ,\cos \theta )\mathrm{d}\theta$ 时，令 $\rho =f(\sin \theta ,\cos \theta ),x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，转化为二重积分且 $I=2S$

• 对 $I={\int }_0^{+\infty }\frac{f(x)}{x}\mathrm{d}x$，令 $\frac{1}{x}={\int }_0^{+\infty }{e}^{-xy}\mathrm{d}y$，可得 $I={\int }_0^{+\infty }\mathrm{d}y\cdot {\int }_0^{+\infty }f(x)e^{-xy}\mathrm{d}x$，这对于 $f(x)=e^{ax}$、$f(x)=a\sin bx+c\cos dx$ 都很好用

参见 此链接 与 此链接

傅汝兰尼积分

$f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续，$a,b>0$，记 $I={\int }_0^{+\infty }\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x$

• 若 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A$，则 $I=[f(0)-A]\ln \frac{b}{a}$

• 若 $\exists k>0$ 使 ${\int }_k^{+\infty }\frac{f(x)}{x}$ 收敛，则 $I=f(0)\ln \frac{b}{a}$

• 若 $\exists k>0$ 使 ${\int }_0^k\frac{f(x)}{x}$ 收敛，则 $I=-f(+\infty )\ln \frac{b}{a}$

定积分的应用

平面图形面积

直角坐标 $y=f(x)$ 和 $x=\phi (y)$ 易推导，极坐标 $S=\frac{1}{2}{\int }_a^b{\rho }^2(\theta )\mathrm{d}\theta$ 也易推导，更多参看 雅可比矩阵

平面曲线弧长

参数方程易推导，直角坐标 $y=f(x)$ 套用参数方程，极坐标 $l={\int }_a^b\sqrt{{\rho }^2(\theta )+{\rho }^{\prime 2}(\theta )}\mathrm{d}\theta$，更多参看 曲线积分与曲面积分

旋转体体积

在此对易推导的情况不做讨论，我们着重介绍以极坐标形式给出时的求法，参见 此链接，更多参看 雅可比矩阵

极坐标下，绕极轴旋转的旋转体体积微元 $\mathrm{d}V=\frac{2\pi }{3}{\rho }^3\sin \theta \mathrm{d}\theta$，推导如下：

考虑角度 $\theta$ 有极小变化 $\mathrm{d}\theta$，则其扫过的扇形所旋转得到的体积 $\mathrm{d}V$ 由其上与原点不同距离的最小面积微元 $\mathrm{d}S$ 旋转得到的最小体积微元 $\mathrm{d}v$ 求和而得

有 $\mathrm{d}S=\rho \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\rho$，这是一个小长方形

有 $\mathrm{d}v=\mathrm{d}S\cdot 2\pi \rho \sin \theta$，再将这个小长方形旋转

有 $\mathrm{d}V={\int }_0^{\rho }\mathrm{d}v={\int }_0^{\rho }2\pi {\rho }^2\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\rho =2\pi \sin \theta \frac{{\rho }^3}{3}\mathrm{d}\theta$，注意这里是对 $\rho$ 积分，将与原点不同距离的 $\mathrm{d}v$ 求和

旋转曲面面积

直角坐标易推导，参数方程套用参数方程，更多参看 曲线积分与曲面积分

向量与空间解析几何

直线方程的几何意义

一般式表示两平面的交线：

其方向向量与两个平面的法向向量垂直，故可令 $\vec{l}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}$

对称式和参数式都很容易理解，略

点到平面距离公式的几何意义

$A=(x_0,y_0,z_0)$ 到 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

取平面上一点 $B=(x_1,y_1,z_1)$ 故显然 $\overrightarrow{BA}$ 在法向量的投影即距离，故 $d=\frac{|(A,B,C)(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)|}{|(A,B,C)|}$，下略

点到直线距离公式的几何意义

$A=(x_0,y_0,z_0)$ 到通过 $B=(x_1,y_1,z_1)$ 方向向量为 $\vec{n}$ 的直线距离 $d=\frac{|\overrightarrow{BA}\times \vec{n}|}{|\vec{n}|}$

因为 $\overrightarrow{BA}$ 和 $\vec{n}$ 所夹平行四边形面积为 $|\overrightarrow{BA}\times \vec{n}|$，故除以底 $|\vec{n}|$ 得高 $d$

空间曲线的切线与法平面方程的几何意义

以参数方程给出时空间曲线的切线与法平面方程的几何意义

若曲线参数方程为：

则其上一点的切向量 $\vec{l}=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$

结合物理意义来看，将 $t$ 视为时间，那么各个方向，如 $x$ 方向上位置关于时间的函数 $x(t)$ 的导数 $x^{\prime }(t)$ 就是该方向上速度，有 $\overrightarrow{l_x}=(x^{\prime },0,0)$，又因为速度是矢量，故叠加得到 $\vec{l}$

有了切向量，那么切线和法平面的方程的几何意义很明显了，略

以方程组给出时空间曲线的切线与法平面方程的几何意义

若曲线方程组为：

其表示两曲面的交线，我们考虑交线上一点 $(x_0,y_0,z_0)$，在 $F$ 上有法向量 $\overrightarrow{n_1}$，具体求法见 以隐函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义，在 $G$ 上有法向量 $\overrightarrow{n_2}$，显然交线上该点的方向向量 $\vec{l}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}$

可以注意到 直线方程的几何意义 就是本节的一个特例

空间曲面的切平面与法线方程的几何意义

以隐函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义

若曲面方程为 $F(x,y,z)=0$：

考虑曲面上原来一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 经过微小变动到底曲面上另一点 $(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)$

故由全增量公式有 $F(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)=F(x_0,y_0,z_0)+\frac{\partial F}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial F}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial F}{\partial z}\Delta z=0$

而 $F(x_0,y_0,z_0)=0$，故 $\frac{\partial F}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial F}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial F}{\partial z}\Delta z=0$

其可视作为两个向量 $\vec{n}=(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})$、$\vec{l}=(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$ 的点积，这说明两向量垂直

又由于 $\vec{l}$ 是我们任意取的，而 $\vec{n}$ 对于所有的 $\vec{l}$ 都有垂直关系，因而 $\vec{n}$ 就是该点的法向量

此外其 $\vec{n}$ 也被称为梯度，利用 Nabla 算子、环量、旋度、格林公式与斯托克斯公式 一节中的知识，我们将其记作 $\vec{\nabla }F$，注意这里的 $F$ 与 $\vec{\nabla }$ 的运算与向量数乘类似，其结果是个向量

以显函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义

若曲面以 $z=f(x,y)$ 的形式给出：

利用 以隐函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义 的结论，取 $F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$ 即可

多元函数微分

多元函数求导

• 若 $z=z(x,y)$ 则

• 若 $z=z(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)$ 则

• 若 $I(x)={\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)\mathrm{d}t$，则 $\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x}=f(v)v^{\prime }-f(u)u^{\prime }$，当积分内不单为关于 $t$ 的函数时，需要代换变量，注意该式和 费曼积分法 中式子的不同

二元函数极限

若有 $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{F(x,y)}{G(x,y)}=a$，则可以转写为在 $(x_0,y_0)$ 的某个领域内 $F(x,y)=aG(x,y)$

错误使用例：

设 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的某去心领域内连续，且满足 $\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+1-x\sin y}=-3$，则函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处 ____

这题若转写了，那么 $f(x,y)=-3(x^2+1-x\sin y)+f(0,0)$，以此推导会得出非极值点的结论，但我们假定的这个函数是有问题的，代入 $(0,0)$ 会发现 $f(0,0)$ 无解，即不存在那样的连续的、二阶可导的函数满足题意，实际上题目也提醒了去心，而我们这个心是有问题的，所以不能转写

这种题还是利用定义做好些

二元函数连续、偏导存在、偏导连续、可微的判定和关系

二元函数连续的判定

若 $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续

可令 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 进行代换，若极限结果与 $\theta$ 相关不等于 $f(x_0,y_0)$，则不连续

二元函数偏导存在的判定

• 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}$ 存在，则称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 关于 $x$ 的偏导存在，记作 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$

• 若 $\underset{y\to y_0}{\lim }\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}$ 存在，则称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 关于 $y$ 的偏导存在，记作 $f_y^{\prime }(x_0,y_0)$

二元函数偏导连续的判定

• 若 $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=f_x^{\prime }(x_0,y_0)$，则称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 关于 $x$ 的偏导连续

• 若 $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=f_y^{\prime }(x_0,y_0)$，则称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 关于 $y$ 的偏导连续

二元函数可微的判定

先判定 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ 和 $f_y^{\prime }(x_0,y_0)$ 是否都存在，存在则进行下一步，否则不可微

考查极限

是否为零，是则称 $f^{\prime }(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微，否则不可微

二元函数连续、偏导存在、偏导连续、可微的关系

没标注的箭头表示无法推出

多元函数极值点的判定

对 $z=F(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 有连续的二阶偏导数，且 $f_x^{\prime }=0,f_y^{\prime }=0$，记 $f_{xx}^{\prime \prime }=A,f_{xy}^{\prime \prime }=B,f_{yy}^{\prime \prime }=C$，则

• $AC-B^2>0$，且 $A>0$ 时取极小值，$A<0$ 时取极大值
• $AC-B^2<0$，不是极值点
• $AC-B^2=0$，不能确定，用定义讨论

多元函数积分

轮换对称性

若 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 且 $\forall (x,y)\in D$ 都有 $(y,x)\in D$，则 $D$ 具有轮换对称性

例：求 $I={\iint }_D(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，$D=\{(x,y)|x^2+y^2⩽R^2\}$

因为 $D$ 满足轮换对称性，故 $I={\iint }_D(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

故 $2I=(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}){\iint }_D(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，下略

当然对于更高维也有相似结论，此处略

雅可比矩阵

在进行二元函数积分时我们想进行换元，但 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 该换成什么呢？

我们来探讨一下令 $x=x(u,v)$，$y=y(u,v)$ 到底是什么意思 —— 是这样的一个函数 $F$ 作用于向 $\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$ 后输出 $\left[\begin{array}{c}x(u,v)\\ y(u,v)\end{array}\right]$

我们考虑极小区域上输入的微小变动与输出的微小变动，其可视作线性变换，记 $J=\left[\begin{array}{cc}{k}_1& k_3\\ k_2& k_4\end{array}\right]$，我们来推导该值

对于 $\left[\begin{array}{c}\mathrm{d}u\\ 0\end{array}\right]$，有 $J\left[\begin{array}{c}\mathrm{d}u\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{k}_1\mathrm{d}u\\ k_2\mathrm{d}u\end{array}\right]$

而这又对应参数方程的极小方向向量，故

$k_1\mathrm{d}u=\frac{\partial x}{\partial u}\cdot \mathrm{d}u⟹k_1=\frac{\partial x}{\partial u}$

$k_2\mathrm{d}u=\frac{\partial y}{\partial u}\cdot \mathrm{d}u⟹k_2=\frac{\partial y}{\partial u}$

同理 $k_3=\frac{\partial x}{\partial v}$，$k_4=\frac{\partial y}{\partial v}$

故 $J=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right]$

又有面积微元比例 $\mathrm{abs}\det J\cdot \mathrm{d}u\mathrm{d}v=\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

详情可见 3Blue1Brown 《雅可比矩阵下：所谓的雅可比行列式》

且由此可见平面直角坐标转极坐标时 $\mathrm{abs}\det J$ 就等于 $\rho$

这对多元函数也是成立的，如三维直角坐标转极坐标时 $\mathrm{abs}\det J={\rho }^2\sin \phi$

曲线积分与曲面积分

该节内容不严谨，很多讨论都只限于二维、三维情况

部分参照 此链接

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nabla 算子 与梯度、散度、旋度

第一类曲线积分

第一类曲线积分与积分方向无关，这适用于标量场

例线密度 $\rho (x,y)$，则线质量 $M={\int }_L\rho (x,y)\mathrm{d}s$

而第一类曲线积分的解法也通常是找到这样一个变量 $t$，使得 $x=x(t),y=y(t)$ 且保向

从而 $\mathrm{d}x=x^{\prime }(t)\mathrm{d}t,\mathrm{d}y=y^{\prime }(t)\mathrm{d}t⟹\mathrm{d}s=\sqrt{\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2}=\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}\mathrm{d}t$

对于更高维的可以类比推理

实际上，第一类曲线积分也可以换元，详见 此链接，但这疑似记不住故仅供了解，但极坐标代换还是要记的，曲线微元 $\mathrm{d}s=\sqrt{{\rho }^2+{\rho }^{\prime 2}}\mathrm{d}\theta$

第二类曲线积分

第二类曲线积分与积分方向有关，这适用于矢量场

例力场 $\vec{F}(x,y)=\left[\begin{array}{c}{F}_x(x,y)\\ F_y(x,y)\end{array}\right]$，则做功

且显然有 $W_{\vec{L}}=-W_{-\vec{L}}$

类似于第一类曲线积分，可以使用参数方程求解

对于封闭曲线，见下小节；对于非封闭曲线，补全曲线为封闭曲线，并对补线使用参数方程法

Nabla 算子、环量、旋度、格林公式与斯托克斯公式

当 $L$ 为闭合曲线时，该曲线积分即 $\vec{F}$ 沿着曲线 $L$ 的环量

利用 $W_{\vec{L}}=-W_{-\vec{L}}$，我们可以将环所包面域分割为无穷多小面域 $\mathrm{d}\vec{S}$

这里 $D$ 与 $\partial D$ 的定义略，这里的 $\vec{\nabla }$ 称作 Nabla 算子，也称哈密顿算子

要提醒的一点是 $\vec{\nabla }\times \vec{F}$ 不完全是叉乘，而是表示求旋度的意思，即 $\mathrm{rot}\vec{F}$，其反应了某点角动量的大小

不同于梯度和散度，旋度不能简单的推广到其他维度，但是只有在三维中其结果为向量

对于二元函数来说，该式子即格林公式

对于三元函数来说，该式子即斯托克斯公式

线积分路径无关的判定

无旋场，即 $\mathrm{rot}\vec{F}\equiv \vec{0}$ 就有路径无关 —— 因为角动量抵消，所以在线上的积分恒为 $0$

第一类曲面积分

第一类曲面积分与积分方向无关，这适用于标量场

例面密度 $\rho (x,y,z)$，则面质量 $M={\iint }_{\Sigma }\rho (x,y,z)\mathrm{d}S$

一般来说，该面 $\Sigma$ 会以 $z=z(x,y)$ 的形式给出，从而有 $\mathrm{d}S=\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$