June 25, 2024

考研数学

请确保已经了解了 高中数学 相关知识

一元函数微分

一元函数极值点、拐点的判定

  • 极值点:看 左右两侧是否为局部最大(小)值;极值点是横坐标

  • 拐点:看 是否在 左右两侧异号,该点本身可以不可导,且 时为凹函数, 时为凸函数;拐点是点

极值点判别法则

对函数 处若存在 使得

  • ,则当 为偶数时, 为极小值点

  • ,则当 为偶数时, 为极大值点

为奇数时 既不是极大值点,也不是极小值点

一般取 ,即一般来说

  • 即有 为极小值点

  • 即有 为极大值点

利用泰勒展开求极限

展开公式见 泰勒级数 一节,这里使用例略,因为太简单了

斯特林公式

一元函数高阶求导

高阶求导转为等比数列求和

,求

由立方和公式

应该为 的系数乘以

可得系数为 ,故答案为

除利用立方和公式外,还可利用立方差公式等

高阶求导转为泰勒展开式

,求

因为

应为 的系数乘以

可得系数为 ,故答案为

一元函数极限

时,要考查

,则

当分子或分母为根式相加减时,可尝试分子或分母有理化

若有 ,则可以转写为在 的某个领域内

对于 ,不可使用 的代换,必须保留 的形式

对于 ,有 ,其中 之间

极限四则运算存在性

  • 不存在,则 不存在;当 时,又有 不存在, 时不确定

  • 均不存在,则 均不确定

一元函数连续、可导、可微的判定和关系

一元函数连续的判定

  • ,则称 处连续

  • ,则称 处左连续,右连续略

一元函数可导的判定

  • 存在,则称 处可导

  • 存在,则称 处左可导,右可导略

一元函数可微的判定

  • ,则称 处可微,且微分

一元函数连续、可导、可微的关系

没标注的箭头表示无法推出

导数极限和导数的关系

存在,无法判断 是否在 处连续

  • ,且 处连续,则 ,否则不存在

  • ,则 不存在

  • 不存在且不为 ,则需要利用 一元函数可导的判定 小节中的判断

间断点

第一类间断点

  • 可去间断点: 存在,但其于 不相等或 无定义

  • 跳跃间断点: 存在但不相等

第二类间断点

任一不存在

曲率和曲率半径

曲率半径的推导

,令 是其在点 的曲率圆

对曲率圆求关于 的偏导、二次偏导:

解得

一般题目会让你求单点的曲率,可以直接代入解上面的方程组

渐近线

先看间断点:左右极限任一为无穷 铅直渐近线

再看水平或斜渐近线 ,同样要考查 两个方向

一元函数积分

不定积分

原函数存在定理

  • 上连续,则在 上存在原函数

  • 上有跳跃间断点,则在 上一定不存在原函数

不连续时,原函数存在性与定积分存在性可以各不相干

由原函数定义,,故 连续

好用的式子

为多项式时以下三个式子非常好用

如何快速拆开分式多项式

例:对

在式子两边同时乘以 ,令

在式子两边同时乘以 ,令

欧拉公式在积分中的应用

,则

使用例:

因为

故得

对不出现奇数次幂的正弦函数的积分都好用,如果出现了,则一般按 处理

费曼积分法

内有定义且连续,且 内连续,则有

更一般情况下,当下限为 上限为 ,则有

例:求

构造 ,则

更多信息见 此链接

定积分

反常积分敛散性的判定

反常积分有以下两种可能:

  • 无穷限的反常积分 —— 积分上下限任一为无穷:
  • 无界函数的反常积分 —— 积分区间内某点(瑕点)函数值为无穷: 使

当然这两种可能可以同时成立,接下来给出判定方法:

首先对无穷限判定,记

  • 若存在 使 存在则收敛
  • 若存在 使 为无穷或非零数则发散

不是说上面就完事了,还有其他地方需要判定

再判定瑕点,记

  • 若存在 使 存在则收敛
  • 若存在 使 为无穷或非零数则发散

当然你还得判定

只有当各处均收敛时才能判定为收敛

奇偶函数反常积分的敛散性
  • 收敛,则
  • 存在,则 存在;后者无法推出前者
反常积分和的敛散性
收敛收敛收敛
收敛发散发散
发散发散不确定
收敛收敛收敛
--发散

三角函数的积分特性

以下性质均由区间重现推出

Wallis 公式

周期函数的积分特性

  • 为周期为 的连续函数,则

一元函数积分转多元函数积分

  • ,故求 时,令 ,转化为二重积分且

  • ,令 ,可得 ,这对于 都很好用

参见 此链接此链接

傅汝兰尼积分

上连续,,记

  • ,则

  • 使 收敛,则

  • 使 收敛,则

定积分的应用

平面图形面积

直角坐标 易推导,极坐标 也易推导,更多参看 雅可比矩阵

平面曲线弧长

参数方程易推导,直角坐标 套用参数方程,极坐标 ,更多参看 曲线积分与曲面积分

旋转体体积

在此对易推导的情况不做讨论,我们着重介绍以极坐标形式给出时的求法,参见 此链接,更多参看 雅可比矩阵

极坐标下,绕极轴旋转的旋转体体积微元 ,推导如下:

考虑角度 有极小变化 ,则其扫过的扇形所旋转得到的体积 由其上与原点不同距离的最小面积微元 旋转得到的最小体积微元 求和而得

,这是一个小长方形

,再将这个小长方形旋转

,注意这里是对 积分,将与原点不同距离的 求和

旋转曲面面积

直角坐标易推导,参数方程套用参数方程,更多参看 曲线积分与曲面积分

向量与空间解析几何

直线方程的几何意义

一般式表示两平面的交线:

其方向向量与两个平面的法向向量垂直,故可令

对称式和参数式都很容易理解,略

点到平面距离公式的几何意义

的距离

取平面上一点 故显然 在法向量的投影即距离,故 ,下略

点到直线距离公式的几何意义

到通过 方向向量为 的直线距离

因为 所夹平行四边形面积为 ,故除以底 得高

空间曲线的切线与法平面方程的几何意义

以参数方程给出时空间曲线的切线与法平面方程的几何意义

若曲线参数方程为:

则其上一点的切向量

结合物理意义来看,将 视为时间,那么各个方向,如 方向上位置关于时间的函数 的导数 就是该方向上速度,有 ,又因为速度是矢量,故叠加得到

有了切向量,那么切线和法平面的方程的几何意义很明显了,略

以方程组给出时空间曲线的切线与法平面方程的几何意义

若曲线方程组为:

其表示两曲面的交线,我们考虑交线上一点 ,在 上有法向量 ,具体求法见 以隐函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义,在 上有法向量 ,显然交线上该点的方向向量

可以注意到 直线方程的几何意义 就是本节的一个特例

空间曲面的切平面与法线方程的几何意义

以隐函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义

若曲面方程为

考虑曲面上原来一点 经过微小变动到底曲面上另一点

故由全增量公式有

,故

其可视作为两个向量 的点积,这说明两向量垂直

又由于 是我们任意取的,而 对于所有的 都有垂直关系,因而 就是该点的法向量

此外其 也被称为梯度,利用 Nabla 算子、环量、旋度、格林公式与斯托克斯公式 一节中的知识,我们将其记作 ,注意这里的 的运算与向量数乘类似,其结果是个向量

以显函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义

若曲面以 的形式给出:

利用 以隐函数给出时空间曲面的切平面与法线方程的几何意义 的结论,取 即可

多元函数微分

多元函数求导

  • ,则 ,当积分内不单为关于 的函数时,需要代换变量,注意该式和 费曼积分法 中式子的不同

二元函数极限

若有 ,则可以转写为在 的某个领域内

错误使用例:

在点 的某去心领域内连续,且满足 ,则函数 在点 处 ____

这题若转写了,那么 ,以此推导会得出非极值点的结论,但我们假定的这个函数是有问题的,代入 会发现 无解,即不存在那样的连续的、二阶可导的函数满足题意,实际上题目也提醒了去心,而我们这个心是有问题的,所以不能转写

这种题还是利用定义做好些

二元函数连续、偏导存在、偏导连续、可微的判定和关系

二元函数连续的判定

,则称 处连续

可令 进行代换,若极限结果与 相关不等于 ,则不连续

二元函数偏导存在的判定

  • 存在,则称 关于 的偏导存在,记作

  • 存在,则称 关于 的偏导存在,记作

二元函数偏导连续的判定

  • ,则称 关于 的偏导连续

  • ,则称 关于 的偏导连续

二元函数可微的判定

先判定 是否都存在,存在则进行下一步,否则不可微

考查极限

是否为零,是则称 可微,否则不可微

二元函数连续、偏导存在、偏导连续、可微的关系

没标注的箭头表示无法推出

多元函数极值点的判定

有连续的二阶偏导数,且 ,记 ,则

  • ,且 时取极小值, 时取极大值
  • ,不是极值点
  • ,不能确定,用定义讨论

多元函数积分

轮换对称性

都有 ,则 具有轮换对称性

例:求

因为 满足轮换对称性,故

,下略

当然对于更高维也有相似结论,此处略

雅可比矩阵

在进行二元函数积分时我们想进行换元,但 该换成什么呢?

我们来探讨一下令 到底是什么意思 —— 是这样的一个函数 作用于向 后输出

我们考虑极小区域上输入的微小变动与输出的微小变动,其可视作线性变换,记 ,我们来推导该值

对于 ,有

而这又对应参数方程的极小方向向量,故

同理

又有面积微元比例

详情可见 3Blue1Brown 《雅可比矩阵下:所谓的雅可比行列式》

且由此可见平面直角坐标转极坐标时 就等于

这对多元函数也是成立的,如三维直角坐标转极坐标时

曲线积分与曲面积分

该节内容不严谨,很多讨论都只限于二维、三维情况

部分参照 此链接

更多相关视频:

中英双语 可视化讲解格林定理

散度与旋度:麦克斯韦方程组、流体等所用到的语言

nabla 算子 与梯度、散度、旋度

第一类曲线积分

第一类曲线积分与积分方向无关,这适用于标量场

例线密度 ,则线质量

而第一类曲线积分的解法也通常是找到这样一个变量 ,使得 且保向

从而

对于更高维的可以类比推理

实际上,第一类曲线积分也可以换元,详见 此链接,但这疑似记不住故仅供了解,但极坐标代换还是要记的,曲线微元

第二类曲线积分

第二类曲线积分与积分方向有关,这适用于矢量场

例力场 ,则做功

且显然有

类似于第一类曲线积分,可以使用参数方程求解

对于封闭曲线,见下小节;对于非封闭曲线,补全曲线为封闭曲线,并对补线使用参数方程法

Nabla 算子、环量、旋度、格林公式与斯托克斯公式

为闭合曲线时,该曲线积分即 沿着曲线 的环量

利用 ,我们可以将环所包面域分割为无穷多小面域

这里 的定义略,这里的 称作 Nabla 算子,也称哈密顿算子

要提醒的一点是 不完全是叉乘,而是表示求旋度的意思,即 ,其反应了某点角动量的大小

不同于梯度和散度,旋度不能简单的推广到其他维度,但是只有在三维中其结果为向量

对于二元函数来说,该式子即格林公式

对于三元函数来说,该式子即斯托克斯公式

线积分路径无关的判定

无旋场,即 就有路径无关 —— 因为角动量抵消,所以在线上的积分恒为

第一类曲面积分

第一类曲面积分与积分方向无关,这适用于标量场

例面密度 ,则面质量

一般来说,该面 会以 的形式给出,从而有

其推导如下:

在曲面 取点

其在 方向上有极小变动 ,则变动向量

同理 方向有

可得面积微元即两个向量的叉积的大小,即:

对于其他情况也一样

这里再多提一个技巧,即若被积函数 又好算的情况,则有

这在球面、锥面上极其好用

第一类曲面积分的参数方程法

推导来自 此链接此链接

度表示为 ,这不是点乘操作,因为 是标量函数,其结果为向量

梯度本身和该换元法本身没什么联系,但一是这里使用 Nabla 算子更加简便,二是既然介绍了旋度以及下节的散度,少个梯度怪可惜的。 -->

被积曲面为 ,令 满足该式且 保定向 —— 你可能会想这怎么可能,其实代换到生活中经纬度和地球上某点的映射就理解了

其在 方向上有极小变动 ,则变动向量

同理 方向有

可得面积微元即两个向量的叉积的大小,即:

其中

故也可注意到上节的代换其实就是本节的一个特例

使用例:

第二类曲面积分

第二类曲面积分与积分方向有关,这适用于矢量场

磁场 ,则磁通量

且显然有

类似于第一类曲面积分,可以使用参数方程求解

第二类曲面积分的参数方程法

同理