高中数学

函数、导数、积分

基本知识

多阶导数的记法

对 $f(x)$，记 $f^{\prime }(x)$ 为一阶导，$f^{\prime \prime }(x)$ 为二阶导，$f^{\prime \prime \prime }(x)$ 为三阶导，任意阶导都可为 $f^{(n)}(x)$

极值点判别法则

对函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处若存在 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 使得

$f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$，$f^{(n)}(x_0)>0$，则当 $n$ 为偶数时，$x_0$ 为极小值点

$f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$，$f^{(n)}(x_0)<0$，则当 $n$ 为偶数时，$x_0$ 为极大值点

当 $n$ 为奇数时 $x_0$ 既不是极大值点，也不是极小值点

一般取 $n=2$，即一般来说

$f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)>0$ 即有 $x_0$ 为极小值点

$f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)<0$ 即有 $x_0$ 为极大值点

注意 18 年全国三卷导数题（2）问

琴生不等式

$\forall x\in D，f^{\prime \prime }(x)\ge 0\iff \forall x_1,x_2\in D，\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\ge f(\frac{x_1+x_2}{2})$

$\forall x\in D，f^{\prime \prime }(x)\le 0\iff \forall x_1,x_2\in D，\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\le f(\frac{x_1+x_2}{2})$

这在图像上显然成立，证明略

ALG 不等式

$\forall x_1,x_2\in {\mathbb{R}}^{\ast }\Rightarrow \frac{x_1+x_2}{2}>\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}>\sqrt{x_1{x}_2}$

一个不等式

(1) 若 $f^{\prime \prime \prime }(x)>0$ 且 $f(x)$ 有两零点 $x_1,x_2$，则 $f^{\prime }(\frac{x_1+x_2}{2})<0$

(2) 若 $f^{\prime \prime \prime }(x)<0$ 且 $f(x)$ 有两零点 $x_1,x_2$，则 $f^{\prime }(\frac{x_1+x_2}{2})>0$

现使用虚设函数法证明式 (1)

记 $g(x)=f(x)-f(a-x)$，其中 $a=x_1+x_2$，且令 $x_1<\frac{a}{2}<x_2$

则 $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+f^{\prime }(a-x)$

$g^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(a-x)$

$g^{\prime \prime \prime }(x)=f^{\prime \prime \prime }(x)+f^{\prime \prime \prime }(a-x)>0$

由 $g^{\prime \prime }(\frac{a}{2})=0$ 得 $g^{\prime }(x)\ge g^{\prime }(\frac{a}{2})=2f^{\prime }(\frac{a}{2})$

假设 $f^{\prime }(\frac{a}{2})\ge 0$，则 $g^{\prime }(x)\ge 0$，$g(x)$ 单调递增

但 $g(\frac{a}{2})=0\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ 与 $f(x_1)=f(x_2)=0$ 的题设相悖

故 $f^{\prime }(\frac{a}{2})<0$，即 $f^{\prime }(\frac{x_1+x_2}{2})<0$

利用隐函数求导求曲线上一点切线斜率

有 $F(x,y)=x^2+2x+y^2=0$

则上一点 $(x,y)$ 切线斜率

$k=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}=-\frac{2x+2}{2y}=-\frac{x+1}{y}$

其中 $\frac{\partial F}{\partial x}$ 表示对 $F$ 求 $x$ 的偏导，即将除了 $x$ 的其他变量视为未知常数进行求导

同理 $\frac{\partial F}{\partial y}$ 表示对 $F$ 求 $y$ 的偏导

利用隐函数求导求约束条件下的函数最值

已知约束条件 $F(x,y)=0$，求 $G(x,y)$最值

例：$F(x,y)=x^2+y^2+xy-4=0$，求 $G(x,y)=x^2+y^2$ 最值

解：令 $-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}=-\frac{\frac{\partial G}{\partial x}}{\frac{\partial G}{\partial y}}$

化简得 $y=\pm x$

与 $F(x,y)=0$ 联立解得 $(\pm \frac{2}{\sqrt{3}},\pm \frac{2}{\sqrt{3}}),(\pm 2,\mp 2)$

可得代入得 $G(x,y)$ 最大值为 $8$，最小值为 $\frac{8}{3}$

不完全严谨，但确实很多时候有用。

圆锥曲线上一点切线方程

极值点偏移

例：$f(x)=x(\ln x-\frac{x}{2}+a-1)$ 有两极值点 $x_1,x_2,x_1<x_2$

1. 求 $a$ 范围
2. 证明 $2\ln x_1+\ln x_2<0$

(1) 解：由 $f^{\prime }(x)=\ln x-x+a$，$f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x}-1$ 得

$f^{\prime }(x{)}_{max}=f^{\prime }(1)=a-1$

由题 $f^{\prime }(x{)}_{max}>0$，故 $a\in (1,+\infty )$

(2) 证：由 (1) 可得 $0<x_1<1<x_2$，所证原式即 $x_2<\frac{1}{x_1^2}$

由 $0<x_1<1$ 得 $\frac{1}{x_1^2}>1$

因为 $\frac{1}{x_1^2}$ 和 $x_2$ 都在 $(1,+\infty )$ 范围内

且 (1) 有 $f^{\prime }(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递减

则所证 $x_2<\frac{1}{x_1^2}$ 即 $f^{\prime }(\frac{1}{x_1^2})<f^{\prime }(x_2)=0$

而 $f^{\prime }(\frac{1}{x_1^2})=\ln \frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_1^2}+a$

其中的 $a$ 又可由 $f^{\prime }(x_1)=\ln x_1-x_1+a=0$ 得到

则代入得 $f^{\prime }(\frac{1}{x_1^2})=\ln \frac{1}{x_1^2}-\frac{1}{x_1^2}+x_1-\ln x_1$

记 $g(x)=\ln \frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2}+x-\ln x=-3\ln x+x-\frac{1}{x^2},x\in (0,1)$

则证明 $g(x)<0$ 即可

因为 $g^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(x^2-2x-2)}{x^3}>0$ 在 $(0,1)$ 上成立

则 $g(x)<g(1)=0$，故题得证

数列

不动点的概念与性质

一般对函数 $f(x)$，若 $\exists x_0\in \mathbb{R}$ 使 $f(x_0)=x_0$，则称 $x=x_0$ 为 $f(x)$ 的一阶不动点

同时有 $f(f(x_0))=x_0$，易得一阶不动点也是二阶不动点

一般对数列 $\{x_n\}$ 有递推式 $x_{n+1}=f(x_n)$，若 $\exists x_0\in \mathbb{R}$ 使 $f(x_0)=x_0$，则称 $x=x_0$ 为 $\{x_n\}$ 的不动点

易得若从某项 $x_k$ 为不动点则后数列恒定不变

要是数列 $\{x_n\}$ 中的项取不到不动点 $x_0$，但足够接近，且后来的项越来越接近 $x_0$，即收敛为 $x_0$

值得注意的是不动点可能为复数，也可能不存在

不动点的稳定性

一阶线性递推数列

即 $\{x_n\}$ 有 $x_{n+1}=f(x_n)=p{x}_n+q$，求 $\{x_n\}$ 通项公式

1. $p=1$ 时为等差数列

2. $p\ne 1$ 时解方程 $x_0=f(x_0)$ 得不动点 $x_0=\frac{q}{1-p}$ 后，则 $\{x_n-x_0\}$ 为等比数列

分式递推数列

即 $x_n$ 有 $x_{n+1}=f(x_n)=\frac{a{x}_n+b}{c{x}_n+d}$，求 $\{x_n\}$ 通项公式

这里先解方程 $x_0=f(x_0)$ 得 $c{x}_0^2+(d-a)x_0-b=0$

1. 当只有一解 $x_0$ 时，$\{\frac{1}{x_n-x_0}\}$ 为等差数列

2. 当有俩解 $\alpha ,\beta$ 时（注意复数解也是两个），$\{\frac{x_n-\alpha }{x_n-\beta }\}$ 为等比数列

一般情形

一般情形下先考虑解方程 $x_0=f(x_0)$ 得到不动点 $x_0$

再在 $x_{n+1}=f(x_n)$ 两边同时减去 $x_0$

即 $x_{n+1}-x_0=f(x_n)-x_0$

进行代数变形后一般能得到等差数列或等比数列形式

不动点为零、复数或不存在时

为零时应当考虑倒数或增项后进行因式分解

为复数时数列必是周期数列

不存在时考虑其他方法

二阶线性递推数列

即 $\{x_n\}$ 有 $x_{n+1}=F(x_n,x_{n-1})=p{x}_n+q{x}_{n-1}$，求 $\{x_n\}$ 通项公式，已知 $x_1,x_2$

设 $\exists a,b$ 使 $x_{n+1}-a{x}_n=b(x_n-a{x}_{n-1})$

有 $a+b=p,ab=-q$，即 $a,b$ 为 $x^2-px-q=0$ 的解

解得 $a,b$ 后，代入原先的等比数列，解得

$x_n=\frac{x_2-b{x}_1}{a-b}{a}^{n-1}+\frac{x_2-a{x}_1}{b-a}{b}^{n-1}$

一个求和式

求 $\sum _{i=1}^{n}i\cdot i!$

注意到 $(n+1)!=(n+1)\cdot n!=n\cdot n!+n!$

故 $\sum _{i=1}^{n}i\cdot i!=\sum _{i=1}^n[(i+1)!-i!]=(n+1)!-1$

构造函数证明数列不等式

累加例

求证 $\sum _{i=1}^n\frac{1}{i+1}<\ln (1+n)$

解：利用 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 试将 $\ln (1+n)$ 写成累加形式为 $\sum _{i=1}^n\ln \frac{i+1}{i}$

则试证 $\frac{1}{x+1}<\ln \frac{x+1}{x}$ 对 $\forall x\ge 1$ 成立

记 $f(x)=\ln \frac{x+1}{x}-\frac{1}{x+1},(x\ge 1)$

$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x(x+1{)}^2}<0$

故 $f(x)>\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$

即 $\frac{1}{x+1}<\ln \frac{x+1}{x}$ 对 $\forall x\ge 1$ 得证

故题得证

累乘例

求证 $\frac{2}{n(n+2)}<\prod _{i=2}^n\ln i$

解：利用 $a_{n+1}=\frac{T_{n+1}}{T_n}$ 试将 $\frac{2}{n(n+2)}$ 写成累乘形式为 $\prod _{i=2}^n\frac{i-1}{i+1}$

则试证 $\frac{x-1}{x+1}<\ln x$ 对 $\forall x\ge 2$ 成立

下略，得题得证

由例可得我们可以通过寻找累加（乘）式以试证累加（乘）对应各项的大小，通过取值并求导得证后回推即题得证，避免了对构造函数不知所措。

向量

基本知识

向量点乘 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$，其中 $\theta$ 为向量 $\vec{a},\vec{b}$ 所夹角的大小，几何意义略

二维向量伪叉乘 $|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$，其中 $\theta$ 为向量 $\vec{a},\vec{b}$ 所夹角的大小，几何意义为向量 $\vec{a},\vec{b}$ 所夹平行四边形面积

两向量 $\vec{a},\vec{b}$ 夹角为锐角的充要条件为 $\vec{a}\cdot \vec{b}>0,|\vec{a}\times \vec{b}|\ne 0$

两向量 $\vec{a},\vec{b}$ 夹角为钝角的充要条件为 $\vec{a}\cdot \vec{b}<0,|\vec{a}\times \vec{b}|\ne 0$

叉乘

二维

叉乘应该主要是三维向量间的计算，我们先谈论其在二维中的应用

二维向量伪叉乘 $|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$

若 $\vec{a}=\left[\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right]=(m,n),\vec{b}=\left[\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right]=(r,s)$

则 $|\vec{a}\times \vec{b}|=|\det (\left[\begin{array}{cc}m& r\\ n& s\end{array}\right])|=|\left|\begin{array}{cc}m& r\\ n& s\end{array}\right||=|ms-nr|$

其中 $\det ()$ 用来求矩阵行列式，具体可看线性代数相关知识

通过上述介绍，我们可以很快求出两向量所夹平行四边形的面积

三维

三维向量叉乘 $\vec{a}\times \vec{b}$ 所输出的是一个新的向量 $\vec{n}$

其中 $|\vec{n}|$ 等于向量 $\vec{a},\vec{b}$ 所夹平行四边形面积，$\vec{n}$ 为该平行四边形的法向量

且方向可右手掌心朝面，收起无名指和小指，中指指向自己，此时 $\vec{a}$ 为食指，$\vec{b}$ 为中指，$\vec{n}$ 为大拇指

此处可注意到 $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$

若 $\vec{a}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]=(a_1,a_2,a_3),\vec{b}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]=(b_1,b_2,b_3)$

则我们列表 $\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|$

则 $\vec{a}\times \vec{b}=(n_1,n_2,n_3)$ 中

$n_1$ 为挡住所列表第一列后的行列式 $\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|$

$n_2$ 为挡住所列表第二列后的行列式 $-\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_3\\ b_1& b_3\end{array}\right|$

$n_3$ 为挡住所列表第三列后的行列式 $\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|$

通过上述介绍，我们可以很快求出法向量

立体几何中的应用

求体积

对于共起点的三维向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 有以该向量所围成的平行六面体的体积 $V_1=|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|$

所围成的三棱锥的体积 $V_2=\frac{V_1}{6}$

求二面角

在求如 $E-AB-F$ 的二面角余弦值时，由于法向量求法不同而导致法向量夹角非二面角，要自主判断其正负，容易引发错误，现介绍一种方法避免错误：

求 $E-AB-F$ 二面角余弦

则平面 $ABE$ 一个法向量 $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AE}$

平面 $ABF$ 一个法向量 $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AF}$

则由图易得 $E-AB-F$ 即 $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ 的夹角

故可求得二面角余弦值

等和线、等差线、等积线、等商线、等平方和线

等和线

等差线

复数

复数四则运算的几何意义

加法和减法略，我们着重介绍乘法

例：$(2+\mathrm{i})\cdot \mathrm{i}=-1+2\mathrm{i}$

从复平面上看，$2+\mathrm{i}$ 逆时针旋转了 $\frac{\pi }{2}$

再例：$(\sqrt{3}+\mathrm{i})(1+\sqrt{3}\mathrm{i})=4\mathrm{i}$

从复平面上看，两者辐角相加，模长相乘

证明：对复平面上一复数 $z$ 记模长为 $l$，辐角为 $\theta$

则 $z=l\cos \theta +\mathrm{i}\cdot l\sin \theta =l(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )$

设 $z_1$ 对应 $l_1,{\theta }_1$，$z_2$ 对应 $l_2,{\theta }_2$

则 $z_1{z}_2=l_1(\cos {\theta }_1+\mathrm{i}\sin {\theta }_1)\cdot l_2(\cos {\theta }_2+\mathrm{i}\sin {\theta }_2)=l_1{l}_2[\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+\mathrm{i}\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)]$

故得证

由上有复数相乘，模长相乘，辐角相加

同理有复数相除，模长相除，辐角相减

对于某些运算能缩短用时

复数的指数运算

推广 $n$ 个复数相乘，有下式成立

其中 $a_k,b_k\in \mathbb{R},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

特殊的 $a_k=a,b_k=b$ 时

更特殊的，$a=\cos \theta ,b=\sin \theta$ 时

由二项式定理有

拆项对应实部虚部得 $n$ 倍角公式

其中 $\lfloor n/2\rfloor$ 表示向下取整

圆锥曲线

圆锥曲线与隐函数求导

圆锥曲线上一点切线方程 —— 见 利用隐函数求导求曲线上一点切线斜率

圆锥曲线外一点两切线切点连线（又称切点弦）形式同上

蒙日圆

椭圆两垂直切线交点轨迹为定圆 $x^2+y^2=a^2+b^2$

焦点三角形面积

对 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 有 $S_{△P{F}_1{F}_2}=b^2\cdot \tan \frac{P}{2}$

对 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 有 $S_{△P{F}_1{F}_2}=b^2\cdot \cot \frac{P}{2}$

抛物线无两焦点，无焦点三角形

通径

对 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(a>b>0)$ 有通径长 $\frac{2b^2}{a}$

对 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,(a>b>0)$ 有通径长 $\frac{2b^2}{a}$

对 $y^2=2px,(p\ne 0)$ 有通径长 $|2p|$

焦点弦

对离心率为 $e$ 的圆锥曲线，过焦点的弦 $AB$ 与焦点所在轴交角若为 $\theta$，$|AF|=\lambda |FB|$

则 $|e\cdot \cos \theta |=|\frac{\lambda -1}{\lambda +1}|$

结合三角函数和斜率 $k$ 可变形为其他形式

判别式

对 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 与 $Ax+By+C=0,(A\cdot B\ne 0)$

1. 相切 $\iff A^2{a}^2+B^2{b}^2=C^2$
2. 相交 $\iff A^2{a}^2+B^2{b}^2>C^2$
3. 相离 $\iff A^2{a}^2+B^2{b}^2<C^2$

对 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 与 $Ax+By+C=0,(A\cdot B\ne 0)$

1. 相切 $\iff A^2{a}^2-B^2{b}^2=C^2$
2. 相交 $\iff A^2{a}^2-B^2{b}^2<C^2$
3. 相离 $\iff A^2{a}^2-B^2{b}^2>C^2$

费马定理与圆锥曲线的光学性质

费马定理：光从一点传至另一点的用时总是最短（均匀介质中表现为路程最短）

假定圆锥曲线都为镜面，则

1. 从圆心发出的光反射后总回到圆心
2. 从椭圆一焦点发出的光反射后到另一焦点
3. 从抛物线焦点发出的光反射后总是垂直于其准线
4. 从双曲线焦点发出的光反射后所在直线过另一焦点

可以利用以上性质求某些距离和（差）的最值

且利用初中知识作切线和法线有反射角等于入射角

一个性质

一动直线恒过圆锥曲线内一定点且交其于两点，则这两点切线交点在其外的某定直线上，反之也成立（与切点弦有相似之处）

对 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若定点为 $(x_0,y_0)$，则定直线为 $\frac{x{x}_0}{a^2}+\frac{y{y}_0}{b^2}=1$

对 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若定直线为 $Ax+By+C=0$，则定点为 $(-\frac{A{a}^2}{C},-\frac{B{b}^2}{C})$

对 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若定点为 $(x_0,y_0)$，则定直线为 $\frac{x{x}_0}{a^2}-\frac{y{y}_0}{b^2}=1$

对 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若定直线为 $Ax+By+C=0$，则定点为 $(-\frac{A{a}^2}{C},\frac{B{b}^2}{C})$

对 $y^2=2px$，若定点为 $(x_0,y_0)$，则定直线为 $y{y}_0=p(x+x_0)$

对 $y^2=2px$，若定直线为 $Ax+By+C=0$，则定点为 $(\frac{C}{A},-\frac{pB}{A})$

共焦点的椭圆与双曲线